Het doel van deze lezing is de afleiding van de tweede ordevoorwaarden voor optimalisering zodat de lezer niet alleen zal begrijpen wat die tweede ordevoorwaarden zijn maar ook waarom die de juiste voorwaarden zijn. Voor het ongedwongen geval worden de voorwaarden verklaard in termen van de matrijs van tweede derivaten genoemd de matrijs van de Jute. de matrijs van de Jute is intuïtief begrijpelijk. de voorwaarden voor het beperkte geval kunnen gemakkelijk in termen van een matrijs worden verklaard genoemd degegrenste Jute. De generatie na generatie van toegepaste wiskundestudenten heeft de gegrenste Jute zonder een aanwijzing goedgekeurd in verband met waarom het de relevante entiteit is.

om het doel te vervullen om een intuïtieve afleiding van de tweede ordevoorwaarden te verstrekken zal, twee drie veranderlijke gevallen eerst alvorens zich te bewegen aan het algemene n veranderlijke geval worden gegeven.

Het één Veranderlijke Geval

Hoewel dit geval zo eenvoudig is schijnt het bijna onbelangrijk zijn analysereeksen het stadium voor de complexere gevallen.

Laat F(x) een differentieerbare functie zijn. de vierkantige benadering aan F(x) dichtbij wat punt x₀ wordt langs gegeven

F(x) = F(x₀) + f_x(x₀)(x-x₀) + ½ f_xx(x₀)(x-x₀)²
of, equivalently
df = f_x(x₀) dx + ½ f_xx(x₀)(dx)²

waar dx=(x-x₀) en df=f(x)-f(x₀).

Een kritiek punt is een waarde van x₀ dusdanig dat f_x(x₀) =0. Als f_x(x₀) =0 toen

df = ½ f_xx(x₀)(dx)²

Voor minimumdf moet positief zijn en sinds(dx)² is positief het betekent altijd dat f_xx(x₀) positief moet zijn. Enerzijds voor maximumdf moet negatief zijn en dat vereist dat f_xx(x₀) negatief ben. De matrijs van de Jute voor dit geval is enkel de 1×1 matrijs [f_xx(x₀)].(Hierna zal het punt waarop de tweede derivaten worden geëvalueerd niet uitdrukkelijk uitgedrukt worden zodat de matrijs van de Jute voor dit geval worden gezegd om te zijn [f_xx].

Er zijn geen overeenkomstige beperkte optimaliseringsproblemen voor dit één veranderlijke geval.

Veranderlijk Geval Twee

De vierkantige benadering over het punt(x₀, y0) voor een differentieerbare functie F(x, y) is

df = f_xdx + f_ydy + ½ [f_xxdxdx + f_xydxdy + f_yxdydx + f_yydydy]
welke in de vorm kan worden uitgedrukt

df = f_xdx + f_ydy + ½(dx, dy)H(dx, dy)^T

waar(dx, dy)^T kolomvector is die is herschik van de rijvector (dx, dy) en

		| fxx fxy |
H	=	|            |
		| fyx fyy |

 

Voor het ongedwongen geval is een kritiek punt zo één dusdanig dat f_x=0 en f_y=0

df = ½(dx, dy)H(dx, dy)^T

Voor een minimum is de tweede ordevoorwaarde dat H een positieve welomlijnde matrijs is. Conditon voor een matrijs om positieve welomlijnd te zijn is dat zijn belangrijkste minderjarigen allen positief zijn. Voor een maximum, moet H een negatieve welomlijnde matrijs zijn die het geval zal zijn als de pincipal minderjarigen in teken afwisselen.

Voor het beperkte geval wordt een kritiek punt bepaald in termen van de Lagrangian multiplicatormethode. Veronderstel de beperking is

f_xx + f_yy = I
waarbij
de eerste ordevoorwaarden zijn
f_x = λp_x
f_y = λp_y

waar λ, de Lagrangian multiplicator, wordt verkozen om de kritieke waarden te hebben de beperking tevredenstellen.

De vierkantige benadering kan nu worden uitgedrukt zoals

df = λp_xdx + λp_ydy + ½(dx, dy)H(dx, dy)^T

Aangezien om het even welke afwijkingen van het kritieke punt de beperking moeten ook tevredenstellen

p_xdx + p_ydy = 0

daarom

df = λ(p_xdx + p_ydy) + ½(dx, dy)H(dx, dy)^T
= ½(dx, dy)H(dx, dy)^T

maar nu moet H niet of positieve of negatieve welomlijnd voor een uiterste(maximum of minimum) zijn omdat dx en dy niet onbeperkt is; d.w.z., slechts dx en dy dusdanig dat p_xdx + p_ydy = 0 worden toegestaan. Dit maakt het specificeren van de voorwaarden op zeer moeilijk h. De verdere analyse van het beperkte geval zal tot na de overweging van het ongedwongen geval voor drie variabelen worden uitgesteld.

Veranderlijk Geval Drie

Voor een trinary functie F(x, y, z) de vierkantige benadering van de afwijkingen is

df = f_xdx + f_ydy + fzdz + ½(dx, dy, dz)H(dx, dy, dz)^T

waar nu H langs wordt gegeven

		| fxx fxy fxz |
H	=	| fyx fyy fyz |
		| fzx fzy fzz |

 

Zoals in veranderlijk ongedwongen geval één en twee verdwijnen de eerste ordetermijnen en de voorwaarden voor een minimum is de positieve ondubbelzinnigheid van H en zo ook negatieve ondubbelzinnigheid voor het maximum. Die voorwaarden kunnen beurtelings in termen van de tekens van de belangrijkste minderjarigen van H. worden verklaard Er zijn niets hier nieuw voor dit geval.

De betekenis van dit geval is dat beperkt veranderlijk geval twee in termen van een veranderlijk geval drie door het gebruik van de Lagrangian multiplicatormethode kan worden geherformuleerd.

In de Lagrangian multiplicatormethode wordt het optimaliseringsprobleem om F(x, y) met betrekking tot x en y te minimaliseren onderworpen aan de beperking f_xx + f_yy = I omgezet in een veranderlijk probleem drie van het ongedwongen minimaliseren

L(x, y, λ) = F(x, y) - λ(f_xx + f_yy - I)

met betrekking tot x, y en λ.

De eerste ordevoorwaarde voor λ is

L_λ = f_xx + f_yy - I = 0
welke gelijkwaardig is aan het tevredenstellen van de beperking.

De vierkantige benadering voor L(x, y, λ) is dan

dL = L_xdx + L_ydy + L_λdλ + ½(dx, dy, dλ)H*(dx, dy, dλ)^T
welke op basis van de definitie van l aan vermindert
dL = f_xdx + f_ydy +(f_xx + f_yy - I) dλ + ½(dx, dy, dλ)H*(dx, dy, dλ)^T
en voor de eerste ordevoorwaarden
dL = λp_xdx + λp_ydy +(f_xx + f_yy - I) dλ
+ ½(dx, dy, dλ)H*(dx, dy, dλ)^T

Wegens satisfication van de beperkingen verminderen de eerste twee termijnen tot nul en eveneens de derde termijn. Aldus wordt de waarde van dL langs gegeven

dL = + ½(dx, dy, dλ)H*(dx, dy, dλ)^T

De tweede orde conditons voor beperkt veranderlijk geval twee kan dan in termen van de Jute H* voor corrsponding veranderlijk geval worden verklaard drie. Het karakter van H wordt * gegeven door van dat eerst nota te nemen

L_x = f_x - λp_x
L_y = f_y - λp_y
L_λ = -(f_xx + f_yy - I)

En zo worden de tweede derivaten gegeven zoals:

		| fxx fxy - px |
H*	=	| fyx fyy - py |
		| - px - py 0   |

 

Zo is dit de raadselachtigegegrenste Jute. De positieve of negatieve ondubbelzinnigheid van H* is dan de tweede ordevoorwaarden voor het beperkte optimaliseringsprobleem.