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Contraint et Unconstrained |
Le but de cette lecture est la dérivation des conditions du second degré pour l'optimisation de sorte que le lecteur comprenne non seulement ce que sont ces états du second degré mais également pourquoi tels sont les conditions appropriés. Pour le cas sans contrainte les conditions sont énoncées en termes de matrice des deuxièmes dérivés appelés la matrice de toile de jute. la matrice de toile de jute est intuitivement compréhensible. les conditions pour le cas contraint peuvent être facilement énoncées en termes de matrice appelée la toile de jute encadrée. Génération après la génération des étudiants appliqués de mathématiques ont accepté la toile de jute encadrée sans indice quant à pourquoi c'est l'entité appropriée.
Afin d'accomplir le but de fournir une dérivation intuitive des conditions du second degré celui, deux et trois cas variables sera donné d'abord avant de se déplacer au cas général de variable de n.
Bien que ce cas soit si simple il semble presque insignifiant ses ensembles d'anaLyse l'étape pour les cas plus complexes.
Laissez f(x) être une fonction différentiable. l'approximation quadratique à f(x) près d'un certain point x0 est donnée près
là où dx= (x-x0) et df=f(x)-f(x0).
Un point critique est une valeur de x0 tels que le fx(x0) =0. Si fx(x0) =0 alors
Pour un minimum le df doit être positif et depuis (dx)2 est toujours positif il signifie que le fxx(x0) doit être positif. D'une part pour un maximum le df doit être négatif et cela exige ce fxx(x0) soit négatif. La matrice de toile de jute pour ce cas est juste la matrice 1×1 [fxx(x0)]. (Ci-après on dirait que le point auquel les deuxièmes dérivés sont évalués ne seront pas exprimés explicitement ainsi la matrice de toile de jute pour ce cas est [fxx].
Il n'y a aucun problème contraint correspondant d'optimisation pour ce cas un variable.
L'approximation quadratique au sujet du point (x0, y0) pour une fonction différentiable f(x, y) est
df = fxdx + fydy + ½ (dx, dy)H(dx, dy)T
là où (dx, dy)T est le vecteur de colonne qui est la transposition du vecteur de rangée (dx, dy) et
| | fxx fxy | | ||
| H | = | | | |
| | fyx fyy | |
Pour le cas sans contrainte par point critique est on tels que fx=0 et fy=0 ainsi
Pour un minimum que l'état du second degré est ce H soyez une matrice définie positive. Le conditon pour qu'une matrice soit positive que défini soit que ses principaux mineurs tous soient positifs. Pour un maximum, H doit être une matrice définie négative qui sera le cas si les mineurs pincipal alternent dans le signe.
Pour le cas contraint par point critique est défini en termes de méthode lagrangienne de multiplicateur. Supposez que la contrainte est
là où le λ, le multiplicateur lagrangien, est choisi afin de faire satisfaire les valeurs critiques la contrainte.
L'approximation quadratique peut maintenant être exprimée As
Puisque toutes les déviations du point critique doivent également satisfaire la contrainte
donc
mais maintenant Hne doit pas être défini positif ou négatif pour une extrémité (maximum ou minimum) parce que le dx et dy ne sont pas sans restriction ; c.-à-d., seulement dx et dy tels qu'on permet le pxdx + pydy = 0. Ceci rend indiquant les conditions sur Htrès difficile. L'analyse supplémentaire du cas contraint sera remise à plus tard jusqu'à après la considération du point de droit sans contrainte pour trois variables.
Pour une fonction trinary f(x, y, z) l'approximation quadratique des déviations est
là où H est maintenant donné près
| | fxz fxy fxz | | ||
| H | = | | fyz fyy fyz | |
| | fzx fzy fzz | |
Comme dans le cas un et deux sans contrainte variable les premières limites d'ordre disparaissent et les conditions pour un minimum est la définitivité positive de H et définitivité pareillement négative pour le maximum. Ces conditions alternativement peuvent être énoncées en termes de signes des principaux mineurs du H. là est rien de neuf ici pour ce cas.
La signification de ce cas est que le cas contraint de deux variables peut être redit en termes de cas de trois variables par l'utilisation de la méthode lagrangienne de multiplicateur.
Dans la méthode lagrangienne de multiplicateur le problème d'optimisation de réduire au minimum f(x, y) en ce qui concerne x et y sujet au px de contrainte + pyy = I est transformé en problème de trois variables de réduire au minimum sans contrainte
en ce qui concerne x, y et λ.
La première condition d'ordre pour le λ est
L'approximation quadratique pour L (x, y, λ) est alors
En raison du satisfication des contraintes les deux premières limites réduisent à zéro et de même à la troisième limite. Ainsi la valeur de la dL est indiquée près
Les conditons du second degré pour le cas contraint de deux variables alors peuvent être énoncés en termes de toile de jute H* pour le cas corrsponding de trois variables. Le caractère de H* est donné en notant d'abord cela
Et les deuxièmes dérivés sont donnés ainsi comme :
| | fxx fxy -px | | ||
| H* | = | | fyx fyy -py | |
| | -px -py 0 | |
Ainsi c'est la toile de jute encadrée énigmatique. La définitivité positive ou négative de H* est alors les conditions du second degré pour le problème contraint d'optimisation.
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