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Begrenzt und nich t begrenzt |
Der Zweck dieses Messwertes ist die Ableitung der zweiten Auftrag Bedingungen für Optimierung, damit der Leser nich t nur versteht, was jene zweiten Auftrag Zustände sind, aber auch , warum die die korrekten Zustände sind. Für den zwanglosen Fall werden die Bedingungen in der Matrix der zweiten Ableitungen ausgedrückt angegeben, die die Sackzeugmatrix genannt werden. die Sackzeugmatrix ist intuitiv verständlich . die Bedingungen für den begrenzten Fall können in einer Matrix ausgedrückt leich t angegeben werden, die das eingefaßte grobe Sackzeug genannt wird. Erzeugung, nach dem Erzeugung der angewandten Mathematikkursteilnehmer das eingefaßte grobe Sackzeug ohne einen Anhaltspunkt angenommen haben hinsich tlich , warum es das relevante Wesen ist.
Um das Ziel des Zur Verfügung stellens einer intuitiven Ableitung der zweiten Auftrag Zustände zu erfüllen wird der, zwei und drei variable Fälle gegeben zuerst bevor man auf den allgemeinen n Variable Fall bewegt.
Obgleich dieser Fall also ist, einfach sch eint er seine Analyse Sätze das Stadium für die komplizierteren Fälle fast trivial.
Lassen Sie f(x) eine differenzierbare Funktion sein. der quadratisch e Näherungswert zu f(x) nahe etwas Punkt x0 wird vorbei gegeben
wo dx=(x-x0) und df=f(x)-f(x0).
Ein kritisch er Punkt ist ein Wert von x0 so daß fx(x0) =0. Wenn fx(x0) =0 dann
Für ein Minimum muß df positiv sein und seit (dx)2 immer ist es bedeutet positiv, daß fxx(x0) positiv sein muß. Einerseits für ein Maximum muß df negativ sein und das erfordert dieses fxx(x0) ist negativ. Die Sackzeugmatrix für diesen Fall ist die Matrix 1×1 [fxx(x0) gerech t]. (Nach her würden der Punkt, an dem die zweiten Ableitungen werden nich t ausgedrückt ausdrücklich ausgewertet werden, also die Sackzeugmatrix für diesen Fall gesagt, um zu sein [fxx].
Es gibt keine entsprech enden begrenzten Optimierung Probleme für diesen ein variablen Fall.
Der quadratisch e Näherungswert über den Punkt (x0, y0) für eine differenzierbare Funktion f(x, y) ist
df = fxdx + fydy + ½(dx, dy)H(dx, dy)T
wo (dx, dy)T Spalte Vektor ist, der umstellen des Reihe Vektors (dx, dy) ist und
| | fxx fxy | | ||
| H | = | | | |
| | fyx fyy | |
Für den zwanglosen Fall ein kritisch en Punkt ist eins so daß fx=0 und fy=0 so
Für ein Minimum, das der zweite Auftrag Zustand diesesh ist, seien Sie eine positive definitive Matrix. Das conditon, damit eine Matrix positiv ist, daß definitiv ist, daß seine hauptminderjährigen alle positiv sind. Für ein Maximum mußh eine negative definitive Matrix sein, die der Fall ist, wenn die pincipal Minderjährigen im Zeich en wech seln.
Für den begrenzten Fall ein kritisch en Punkt wird in der Lagrangian Vervielfach ermethode ausgedrückt definiert. Nehmen Sie an, daß die Begrenzung ist
wo λ, der Lagrangian Vervielfach er, besch lossen wird, um die kritisch en Werte die Begrenzung erfüllen zu lassen.
Der quadratisch e Näherungswert können wie jetzt ausgedrückt werden
Da alle möglich e Abweich ungen vom kritisch en Punkt die Begrenzung auch erfüllen müssen
folglich
aber jetzt mußh nich t entweder für ein übermaß positives oder negatives definitives sein (Maximum oder Minimum) weil dx und dy nich t uneingesch ränkt sind; d.h. nur dx und dy so, daß pxdx + pydy = 0 erlaubt werden. Dieses bildet, die Bedingungen aufh spezifizierend sehr sch wierig. Die weitere Analyse des begrenzten Falles wird bis nach die Betrach tung des zwanglosen Arguments für drei Variablen hinausgesch oben.
Für eine trinary Funktion f(x, y, z) ist der quadratisch e Näherungswert der Abweich ungen
wo jetzt hvorbei gegeben wird
| | fxx fxy fxz | | ||
| H | = | | fyx fyy fyz | |
| | fzx fzy fzz | |
Wie im variablen zwanglosen Fall einer und zwei versch winden die ersten Auftrag Bezeich nungen und die Bedingungen für ein Minimum ist die positive Bestimmtheit von hund ähnlich negative Bestimmtheit für das Maximum. Jene Bedingungen können in den Zeich en der hauptminderjährigen von H. ausgedrückt dort der Reihe nach angegeben werden ist nich ts neues hier für diesen Fall.
Die Bedeutung dieses Falles ist, daß der begrenzte zwei Variable Fall in einem drei Variable Fall durch den Gebrauch von der Lagrangian Vervielfach ermethode ausgedrückt erneut dargestellt werden kann.
In der Lagrangian Vervielfach ermethode wird das Optimierung Problem der Minderung von von f(x, y) in Bezug auf x und y abhängig von dem Begrenzung pxx + pyy = I in ein drei Variable Problem der zwanglosen Minderung umgewandelt
in Bezug auf x, y und λ.
Die erste Auftrag Bedingung für λ ist
Der quadratisch e Näherungswert für L(x, y, λ) ist dann
Wegen des satisfication der Begrenzungen verringern sich die ersten zwei Bezeich nungen auf null und ebenfalls der dritten Bezeich nung. So wird der Wert von dL vorbei gegeben
Die zweiten Auftrag conditons für den begrenzten zwei Variable Fall können in dem groben Sackzeug H* für den corrsponding drei Variable Fall ausgedrückt dann angegeben werden. Der Buch stabe von H* wird gegeben, indem man zuerst das merkt
Und folglich werden die zweiten Ableitungen wie gegeben:
| | fxx fxy -px | | ||
| H* | = | | fyx fyy -py | |
| | -px -py 0 | |
So ist dieses das rätselhafte eingefaßte grobe Sackzeug. Die positive oder negative Bestimmtheit von H* dann ist die zweiten Auftrag Bedingungen für das begrenzte Optimierung Problem.
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