Der vertraute zweite Auftrag Zustand für ein relatives Maximum einer univariate Funktion f(X) am kritischen Punkt x=x0, in dem f'(x)=0 ist, daß die zweite Ableitung an diesem Punkt negativ sein muß;

f "(x) < 0.
 

Ebenso wird die zweite Auftrag Bedingung für ein relatives Minimum normalerweise angegeben, um zu sein, daß die zweite Ableitung an einem kritischen Punkt positiv sein muß. Wie unten gezeigt wird, ist dieses eine übervereinfachung. Aber lassen Sie uns betrachten die Verallgemeinerung dieser Bedingungen zu den multivariaten Funktionen.

Die zweiten Auftrag Bedingungen für ein relatives Maximum einer multivariaten Funktion f(x1, x2,… Tw-Gondelstation) wird am bequemsten in den Eigenschaften der Matrix der zweiten Ableitungen ausgedrückt angegeben,

S = (∂f²/∂x_j∂x_i) = f_i,j
 

An diesem Punkt muß etwas neue Terminologie eingeführt werden. Ein Minderjähriger einer Matrix ist der bestimmende Faktor eines submatrix, das indem er einige Reihen und Spalten einer Matrix gebildet wird, löscht. Die n-th Hauptminderjährigen einer Matrix sind die, die indem sie alle Reihen und Spalten ausgenommen die ersten die n Reihen und Spalten gebildet werden, löschen. So ist der erste Hauptminderjährige der bestimmende Faktor des submatrix Bestehens, was gelassen wird, wenn alle aber die erste Reihe und die Spalte gelöscht werden. Dieses ist gerechtes m_1,1 für eine Matrix M = (m_i,j). Der n-th Hauptminderjährige für eine nxn Matrix ist der bestimmende Faktor dieser Matrix gerecht.

Die Bedingung für ein relatives Maximum an einem kritischen Punkt ist, daß die Matrix S negatives definitives muß. Dieses herscht, wenn die Hauptminderjährigen von S im Zeichen. wechseln, beginnend mit negativen Werten für den ersten Hauptminderjährigen vor.

Für ein Minimum ist die Bedingung, daß die Matrix S positiv sein muß, daß definitiv und dieses vorherscht, wenn die Hauptminderjährigen alle positiv sind.

Für eine zweidimensionale Funktion f(x, y) bedeutet dieses, daß für für ein relatives Maximum an einem kritischen Punkt es das sein muß

f_xx < 0
und
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0.
 

Da f_xy = f_yx dieser letzte Zustand normalerweise wie angegeben wird

f_xxf_yy > f_xy².
 

Die Bedingung, der f_yy das gleiche Zeichen haben Sie, das f_xx von dieser Bedingung abgeleitet werden kann; d.h., das das Produkt von f_xx und das f_yy positiv sein müssen.

Die Bedingungen für ein relatives Minimum ist die

f_xx > 0
und
f_xxf_yy - f_xy² > 0.
 

Vorsicht: Die Bedingung das

f_xxf_yy > f_xy²
 

ist ein erforderlicher Zustand für Haben entweder eines relativen Maximums oder des relativen Minimums. Es sei denn diese Bedingung vorherscht, macht sie nicht aus, was die Zeichen von f_xx oder die f_yy sind.

Verfeinerungen

In der vorhergehenden Analyse relative bedeutete das Maximum, daß der Wert der Funktion an einem kritischen Punkt ausschließlich grösser als die Werte an den nahe gelegenen Punkten war. Wenn relatives Maximum genommen wurden, um zu bedeuten, daß der Wert der Funktion am kritischen Punkt grösser als ist oder Gleichgestelltes zu den nahe gelegenen Werten dann die Bedingung auf der Matrix S ist, daß sie negatives halbbestimmtes ist. Ebenso für ein relatives Minimum, das nur kleiner ist, als oder Gleichgestelltes zu den nahe gelegenen Werten ist die Bedingung auf S, daß sie positives halbbestimmtes muß.

Lassen Sie uns zum einfachen Fall von einer univariate Funktion f(X) zurück jetzt gehen. Was wenn, am kritischen Punkt, f " (X) = 0? Tut dieses Mittel, daß der kritische Punkt ein Punkt der Beugung ist. Nicht notwendigerweise; der kritische Punkt konnte ein relatives Maximum noch sein. Um würden uns zu erklären die folgenden Ableitungen der Funktion betrachten müssen auf den kritischen Punkt. Wenn die zweite Ableitung von den negativen Werten zu den positiven Werten geht (die der dritten Ableitung entspricht, das f'" (X), das am Punkt positiv ist), dann ist kritischer Punkt ist ein Punkt der Beugung. Es ist auch ein Punkt der Beugung ist die zweite Ableitung ändert von den positiven Werten zu den negativen Werten (die dritte Ableitung, die negativ ist). Aber, wenn die zweite Ableitung negativ ist und bis null am kritischen Punkt und wird dann wieder (entsprechend der dritten Ableitung, die auch am kritischen Punkt null ist) dann der kritische Punkt ist geht ein relatives Maximum negativ. Wenn die zweite Ableitung an den Punkten nahe dem kritischen Punkt positiv ist und null am kritischen Punkt (entsprechend einer null dritten Ableitung am kritischen Punkt) dann der kritische Punkt würde ein relatives Minimum sein. , um die Natur eines kritischen Punktes so festzustellen, an dem die zweite Ableitung null ist, müssen wir den Wert der dritten Ableitung betrachten. Wenn sie dann ungleich Null ist, ist der kritische Punkt ein Punkt der Beugung. Wenn er null ist, könnte es ein Maximum sein, oder das Minimum, das nach dem Wert der vierten Ableitung am kritischen abhängt, zeigt.

Es konnte scheinen, daß die exakten zweiten Auftrag Bedingungen für ein Maximum in der folgenden ungleich Nullableitung ausgedrückt formuliert werden konnten. Jedoch gibt es einen Testfall, der zeigt, wie schwierig es, die zweiten Auftrag Zustände exakt zu bilden ist. Betrachten Sie die Funktion

f(X) = exp [- 1/x²]
 

Dieses ist eine tadellos angemessene Funktion, die ein Minimum an x=0 hat. Das Problem ist, daß alle Ableitungen dieser Funktion an x= 0 null sind. Die Funktion hat, ein gut definiertes Minimum an x=0 aber ist an x=0 „unendlich flach“.