Lo stato esperto di secondo grado per un massimo relativo di una funzione monovariante f(x) al punto critico x=x₀ in cui f'(x)=0 è che il secondo derivato a quel punto deve essere negativo;

f"(x) < 0.
 

Inoltre il termine di secondo grado per un minimo relativo è dichiarato solitamente per essere che il secondo derivato ad un punto critico deve essere positivo. Come sarà indicato sotto, questo è un oversimplification. Ma lascili considerano la generalizzazione di queste circostanze alle funzioni a più variabili.

I termini di secondo grado per un massimo relativo di una funzione a più variabili la f(x1, x2,… xn) è dichiarato il più convenientemente in termini di proprietà della tabella dei secondi derivati,

S = (∂f²/∂x_j∂x_i) = f_i,j
 

A questo punto una certa nuova terminologia deve essere introdotta. Un minore di una tabella è il determinante di un submatrix costituito dalla cancellazione le alcune file e colonne di una tabella. Gli ennesimi minori principali di una tabella sono quei costituiti dalla cancellazione tutte le file e colonne tranne le prime file e le colonne di n. Così il primo minore principale è il determinante del submatrix che consiste ciò che resta quando tutti ma la prime fila e colonna sono cancellati. Ciò è m_1,1 giusto per una tabella m. = (m_i,j). L'ennesimo minore principale per una tabella del nxn è giusto il determinante di quella tabella.

Il termine per un massimo relativo ad un punto critico è che la tabella S deve definito negativo. Ciò prevarrà se i minori principali della S si alternano nel segno., cominciando dai valori negativi per il primo minore principale.

Per un minimo la circostanza è che la tabella S deve essere positiva che definito e questo prevarrà se i minori principali sono tutti positivi.

Per una funzione bivariate la f(x, y) questo significa che per per un massimo relativo ad un punto critico deve essere quello

f_xx < 0
e
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0.
 

Poiché f_xy = f_yx questo stato posteriore è dichiarato solitamente As

f_xxf_yy > f_xy².
 

La circostanza f_yy che lo stesso segno come il f_xx può essere dedotto da questa circostanza; cioè che il prodotto di f_xx e il f_yy devono essere positivi.

I termini per un minimo relativo è quello

f_xx > 0
e
f_xxf_yy - f_xy² > 0.
 

Attenzione: La circostanza quello

f_xxf_yy > f_xy²
 

è uno stato richiesto per avere un massimo relativo o un minimo relativo. A meno che questa circostanza prevalga non importa che cosa i segni di f_xx o il f_yy sono.

Perfezionamenti

Nell'analisi precedente il massimo relativo ha significato che il valore della funzione ad un punto critico era rigorosamente più grande dei valori ai ai punti vicini. Se il massimo relativo fosse preso per significare che il valore della funzione al punto critico è superiore o uguale a ai i valori vicini allora il termine sulla tabella S è che è semi definito negativo. Inoltre per un minimo relativo che è soltanto inferiore o uguale a qui vicino stima il termine sulla S è che deve semi definito positivo.

Andiamo indietro ora al caso semplice di una funzione monovariante la f(x). Che cosa se, al punto critico, f"(x) = 0? Fa questa media che il punto critico è un punto della flessione. Non necessariamente; il punto critico ha potuto ancora essere un massimo relativo. Per dire ai dovremmo guardare i derivati seguenti della funzione il punto critico. Se il secondo derivato sta andando dai valori negativi ai valori positivi (che corrisponde al terzo derivato, f'" (x) che è positivo al punto), quindi è il punto critico è un punto della flessione. È inoltre un punto della flessione è il secondo derivato sta cambiando dai valori positivi ai valori negativi (il terzo derivato che è negativo). Ma se il secondo derivato è negativo e va a zero al punto critico ed allora diventa negativo ancora (corrispondendo al terzo derivato anche che è zero al punto critico) allora il punto critico è un massimo relativo. Se il secondo derivato è positivo ai punti vicino al punto critico e zero al punto critico (che corrisponde ad un terzo derivato zero al punto critico) allora il punto critico sarebbe un minimo relativo. Così per determinare la natura di un punto critico a cui il secondo derivato è zero dobbiamo guardare il valore del terzo derivato. Se è diverso da zero allora il punto critico è un punto della flessione. Se è zero potrebbe essere un massimo o il minimo che dipende dal valore del derivato di quarto al critico indica.

Potrebbe sembrare che i termini precisi di secondo grado per un massimo potrebbero essere formulati in termini di derivato diverso da zero seguente. Tuttavia, ci è un caso della prova che mostra quanto difficile è di rendere gli stati di secondo grado precisi. Consideri la funzione

f(x) = exp [- 1/x²]
 

Ciò è una funzione perfettamente ragionevole che ha un minimo a x=0. Il problema è che tutti i derivati di questa funzione a x= 0 sono zero. La funzione ha un minimo ben definito a x=0 ma è “infinitamente piana„ a x=0.