f'(x)=0が第2派生物はその時否定的でなければならないことである屈曲点x=x0の単一変量機能fの(x)相対的な最高のためのよく知られた第2順序の状態;

f " (x) < 0。
 

同様に相対的な最低のための第2順序の条件は通常屈曲点の第2派生物が肯定的でなければならないことであるために示される。 次に示されるように、これは過度の単純化である。 しかし私達を考慮する多変数機能にこれらの条件の概括を許可しなさい。

多変数機能f (x1、x2第2派生物のマトリックスの特性によって、… xn)の相対的な最高のための第2順序の条件は最も便利に示される、

S = (∂f²/∂x_j∂x_i) = f_i,j
 

この時点で新しい専門用語はもたらされなければならない。 マトリックスの未成年者はマトリックスのある列そしてコラムの削除によって形作られるsubmatrixの決定要因である。 マトリックスのｎ番目主な未成年者は最初のnの列およびコラムを除くすべての列そしてコラムの削除によって形作られる物である。 従って最初の主な未成年者はすべて最初の列およびコラムが削除されるが、とき成っているsubmatrix残っているものがからの決定要因である。 これはマトリックスのための公正なm1,1 M =である(m_i,j)。 nxnのマトリックスのためのｎ番目主な未成年者はそのマトリックスのちょうど決定要因である。

屈曲点の相対的な最高のための条件はマトリックスSが否定的な明確なることことである。 これは最初の主な未成年者のための否定的な価値にはじまってSの主な未成年者が印で。交互になれば、勝つ。

最低のために条件は主な未成年者がすべて肯定的なら勝つことを明確、これことをマトリックスSが肯定的でなければならないことである。

二変数機能f屈曲点の相対的な最高のためにのためにそれでなければならないことを(x,y)のためにこれは意味する

f_xx < 0
そして
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0。
 

f_xy = f_yx が通常この後の状態ように示されるので

f_xxf_yy > f_xy²。
 

f_yy f_xxがこの条件から推論することができるのと同じ印を持ちなさい条件; すなわち f_xxのプロダクトおよびf_yy肯定的でなければならない。

相対的な最低のための条件はそれである

f_xx > 0
そして
f_xxf_yy - f_xy² > 0。
 

注意: 条件それ

f_xxf_yy > f_xy²
 

相対的な最高か相対的な最低を持っていることのための必須の条件はある。 この条件が勝たなければによって f_xxの印か f_yyであるものが重要でない。

洗練

前の分析で相対的な最高は屈曲点の機能の価値が近くポイントで厳しく以上価値だったことを意味した。 屈曲点の機能の価値は近くの価値と等しいかまたはそれ以上であることを意味するために相対的な最高が取られたらマトリックスSの条件は否定的な準定であることである。 同様に近くの価値とだけ等しいかまたはそれ以下の相対的な最低のためSの条件は肯定的な準定なることことである。

私達を単一変量機能fの(x)簡単な例に今戻ることを許可しなさい。 何、屈曲点で、f "(x) = 0か。 屈曲点が屈曲のポイントであることこの平均をする。 必ずしも; 屈曲点はまだ相対的な最高であることができる。 私達は言うために屈曲点を機能の次の派生物を見る必要がある。 第2派生物が否定的な価値から肯定的な価値f'" (x)にポイントで肯定的が、(第3派生物である対応する行けば)に、屈曲点はである屈曲のポイントある。 それはまた肯定的な価値から否定的な価値(否定的がである第3派生物)に屈曲のポイントである第2派生物変わっているである。 しかし第2派生物が否定的なら行き、次に屈曲点否定的に(また屈曲点でゼロがである第3派生物に対応する)それから再度ある相対的な最高は屈曲点でゼロになり。 第2派生物が屈曲点の近くでポイントで肯定的およびなら屈曲点のゼロは(屈曲点でゼロ第3派生物に対応する)それから屈曲点相対的な最低である。 従って第2派生物がゼロである屈曲点の性質を定めるために私達は第3派生物の価値を見なければならない。 それが非ゼロなら屈曲点は屈曲のポイントである。 ゼロそれは最高または最低でもよい屈曲点で第4派生物の価値に依存する。

最高のための精密な第2順序の条件が次の非ゼロの派生物によって作り出すことができるようであるかもしれない。 但し、困難それが第2順序の状態を精密にさせることいかにであるか示すテストケースがある。 機能を考慮しなさい

f(x) = exp[- 1/x²]
 

これはx=0で最低がある完全に適度な機能である。 問題はx= 0のこの機能のすべての派生物がゼロであることである。 機能にx=0で明示されている最低があるが、x=0で「無限に平ら」である。