산 José 주립 대학
경제학과

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Thayer Watkins
실리콘 밸리
& 토네이도 골목
미국

두번째 순서 상태
구속받지 않는 것을 위해
최대 또는 최소한

univariate 기능 f의 관계되는 최대를 위한 친밀한 두번째 순서 상태 (x) 두번째 유래물은 x=x0 그 시점에서 f'(x)=0 부정적이어야 한다 인 한계점에;

f"(x) < 0.

마찬가지로 관계되는 최소한을 위한 두번째 순서 조건은 한계점에 두번째 유래물이 긍정적이어야 한다 이기 위하여 보통 진술된다. 아래에 보여질 것이다 것과 같이, 이것은 지나친 단순화이다. 그러나 저희를 고려한다 다변량 기능에 이 조건의 일반화를 시키십시오.

다변량 기능의 관계되는 최대를 위한 두번째 순서 조건은 f(x1, x2, ...xn) 두번째 유래물의 모체의 재산의 점에서 가장 편리하게 진술된다,

S = (∂2f/∂xj∂xi) = fi,j

이 시점에서는 약간 새로운 용어는 소개되어야 한다. 모체의 미성년자는 모체의 몇몇 줄 그리고 란을 삭제해서 형성된 submatrix의 결정 요인이다. 모체의 n 주요한 미성년자는 첫번째 n 줄 및 란을 제외하고 모든 줄 그리고 란을 삭제해서 형성된 그들이다. 따라서 첫번째 주요한 미성년자는 모두 그러나 첫번째 줄 및 란이 삭제될 때 submatrix 남겨두는 무엇이 이루어져 있기의 결정 요인이다. 이것은 모체 m1,1 를 위해 다만 이다 M =(mi,j). n×n 모체를 위한 n 주요한 미성년자는 그 모체의 다만 결정 요인이다.

한계점에 관계되는 최대를 위한 조건은 모체 S가 부정적인 명확해야한다 이다. 이것은 첫번째 주요한 미성년자를 위한 부정적인 가치 맨먼저 S의 주요한 미성년자가 표시에서. 교체하는 경우에, 통용할 것이다.

최소한을 위해 조건은 주요한 미성년자가 모두 긍정적인 경우에 통용할 것이라는 점을 명확할과 이것 모체 S가 긍정적이어야 한다 이다.

쌍각류 기능을 위해 f(x,y) 이것은 한계점에 관계되는 최대를 위해 이어야 한ㄴ다는 것을

fxx < 0
의미한다
fxxfyy - fxyfyx > 0.

이 fxy = fyx 후반 상태가 보통 것과 같이 진술되기 때문에

fxxfyy > fxy2.

조건은 이 fyy 조건에서 동일한 fxx 표시가와 있는 추론될 수 있다; i.e 제품은 fxx fyy 긍정적이고다.

관계되는 최소한을 위한 조건은 그것

fxx > 0
이다
fxxfyy - fxy2 > 0.

주의: 조건 그것

fxxfyy > fxy2

관계되는 최대 또는 관계되는 최소한이 있는을 위한 필수 조건은 이다. 이 조건이 통용하면 않는 한 표시 또는 무엇을의 상관 없습니다 fxx fyy are.

세련

이전 분석에서 관계되는 최대는 한계점에 기능의 가치가 엄격히 가까운 점에 가치 보다는 더 다는 것을 의미했다. 한계점에 기능의 가치는 같거나 큰 가까운 가치 그 후에 다는 것을 의미하기 위하여 관계되는 최대가 가지고 간 경우에 모체 S에 조건은 부정적인 semidefinite이다 이다. 마찬가지로 보다 적거나 같은 가까이에 있는 관계되는 최소한을 위해 S에서만 조건을 긍정적인 semidefinite 해야 한다 이다 평가한다.

저희가 univariate 기능 f (x)의 간단한 예에 지금 돌아가게 하십시오. 무엇 만약에, 한계점에 f"(x) = 0? 한계점이 굴절 적 관점이다 이 평균을 한다. 반드시; 한계점은 아직도 관계되는 최대일 수 있었다. 우리는 말하기 위하여는 한계점을 기능의 다음 유래물을 볼 필요가 있을 것입니다. 두번째 유래물이 부정적인 가치에서 긍정적인 가치, (제 3 의 유래물에 대응하는 점에 f'"(x) 긍정적이 가는 경우에)에, 한계점은이다 굴절 적 관점 이다. 또한 긍정적인 가치에서 부정적인 가치 (부정적인 제 3 의 유래물)로 굴절 적 관점이다 두번째 유래물 바뀌고 있다이다. 그러나 두번째 유래물이 부정적 인 경우에 이것은 한계점에 0에 가고 그 후에 한계점 부정적 다시 (또한 한계점에 영 인 제 3 의 유래물에 일치하는) 그 때이다 관계되는 최대 되고. 두번째 유래물이 한계점의 가까이에 점에 긍정적 인 경우에 한계점에 0는 (한계점에 영 제 3 의 유래물에 일치하는) 그 때 한계점 관계되는 최소한일 것입니다. 따라서 두번째 유래물이 0인 한계점의 본질을 결정하기 위하여 우리는 제 3 의 유래물의 가치를 봐야 한다. 그것이 비제로 경우에 그 후에 이면 한계점은 굴절 적 관점이다. 그것이 0인 경우에 한계점에 제 4 유래물의 가치에 따라서 최대 또는 최소한일 수 있었다.

최대를 위한 정확한 두번째 순서 조건이 다음 비제로 유래물의 점에서 공식화될 수 있었다 나타날지도 모르다. 그러나, 얼마나 어려운 두번째 순서 조건을 정확한 시키기 위한 것인지 보여주는 첫 시도가 있다. 기능을 고려하십시오

f(x) = exp[-1/x2]

이것은 최소한이 있는 완벽하게 적당한 기능이다 x=0. 문제는 x= 0에 이 기능의 모든 유래물이 0이다 이다. 기능에는 x=0에 분명한 최소한이 있고 그러나 x=0에 "무한하게 편평하다".


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