熟悉的二次情况为一个单变量的作用f(x)的一个相对最大值在f'(x)=0是的关键步骤x=x0第二种衍生物一定那时是消极的;

f " (x) < 0。
 

同样二次条件为一个相对极小值通常被描述为第二种衍生物在一个关键步骤一定是正面的。 和如下所示，这是太简单的事。 但让我们考虑这些情况的概念化到多维分布的作用。

二次条件为一个多维分布的作用f (x1， x2的一个相对最大值，… xn)最方便地陈述根据第二种衍生物矩阵的物产，

S = (∂f²/∂x_j∂x_i) = f_i,j
 

这时必须介绍一些新的术语。 矩阵的未成年人是删除形成的submatrix的定列式矩阵的有些列和专栏。 矩阵的第n个主要未成年人是删除形成的那个所有列和专栏除了第一n列和专栏。 因而第一个主要未成年人是submatrix包括的定列式什么被留下当所有除了第一个列和专栏被删除时。 这是正义m1,1为矩阵M = (m_i,j)。 第n个主要未成年人为nxn矩阵是那个矩阵定列式。

条件为一个相对最大值在一个关键步骤是矩阵S必须消极确定。 这从消极价值开始将战胜如果S的主要未成年人交替在标志。，为第一个主要未成年人。

为极小值情况是矩阵S一定是正面的确定和这将战胜如果主要未成年人是所有正面的。

为一个二元作用f (x,y)这意味着为为一个相对最大值在一个关键步骤它必须是那

f_xx < 0
并且
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0。
 

因为f_xy = f_yx这个后者情况通常陈述

f_xxf_yy > f_xy²
 

f_yy把标志和一样f_xx可以从这个情况被推论的情况; 即f_xx产品和f_yy一定是正面的。

条件为一个相对极小值是那

f_xx > 0
并且
f_xxf_yy - f_xy² > 0。
 

小心： 情况那

f_xxf_yy > f_xy²
 

是一个必需的条件为有一个相对最大值或一个相对极小值。 除非这个情况战胜它没有重要性什么f_xx的标志或f_yy是。

提炼

在早先分析相对最大值意味作用的价值在一个关键步骤严密地是大于价值在附近的点。 如果相对最大值被采取意味作用的价值在关键步骤是大于或等于附近的价值那么条件在矩阵S是它消极semidefinite。 同样为只小于或等于附近的一个相对极小值在S重视条件是它必须正面semidefinite。

让我们现在走一个单变量的作用f (x)的简单的事例。 若，在关键步骤， f " (x) = 0 ？ 做这个手段关键步骤是问题的变化。 不必要; 关键步骤能仍然是一个相对最大值。 为了告诉我们会需要看作用的下种衍生物关键步骤。 如果对应于第三衍生物的第二种衍生物从消极价值去正面价值(， f'" (x)是正面的在点)，则是关键步骤是问题的变化。 它是也问题的变化是第二种衍生物从正面价值变成消极价值(第三种衍生物是消极的)。 但如果第二种衍生物是消极的并且去到零在关键步骤然后变得消极再(对应于第三种衍生物也是零在关键步骤)然后关键步骤是一个相对最大值。 如果第二种衍生物是正面的在点在关键步骤附近并且零在关键步骤(对应于零的第三种衍生物在关键步骤)然后关键步骤是一个相对极小值。 因而为了确定第二种衍生物是零一个关键步骤的本质我们必须看第三种衍生物的价值。 如果它是非零的那么关键步骤是问题的变化。 如果它是零它可能是最大值或极小值取决于第四种衍生物的价值在关键步骤。

它也许看来精确二次条件为最大值可能被公式化根据下种非零衍生物。 然而，有显示的判例案件困难它多么是使二次条件精确。 考虑作用

f (x) = exp [- 1/x2]
 

这是有一个极小值在x=0的一个完全合理的作用。 问题是这个作用所有衍生物在x= 0是零。 作用有一个明确定义的极小值在x=0但是“无限地平的”在x=0。