A segunda condição familiar da ordem para um máximo relativo de uma função univariate f (x) no ponto crítico x=x0 onde o f'(x) =0 é que o segundo derivative nesse ponto deve ser negativo;

f "(x) < 0.

Do mesmo modo a segunda condição da ordem para um mínimo relativo é indicada geralmente para ser que o segundo derivative em um ponto crítico deve ser positivo. Como será mostrado abaixo, este é um oversimplification. Mas deixe-nos consideram a generalização destas circunstâncias às funções multivariate.

As segundas condições da ordem para um máximo relativo de uma função multivariate f (x1, x2,… o xn) são indicadas o mais convenientemente nos termos das propriedades da matriz de segundos derivatives,

S = (∂f²/∂x_j∂x_i) = f_i,j

Neste momento alguma terminologia nova deve ser introduzida. Um menor de uma matriz é a determinante de um submatrix dado forma suprimindo algumas fileiras e colunas de uma matriz. Os n-th menores principais de uma matriz são esses dados forma suprimindo todas as fileiras e colunas exceto as primeiras fileiras e colunas de n. Assim o primeiro menor principal é a determinante de consistir do submatrix o que é deixado quando todos mas a primeiras fileira e coluna são suprimidos. Este é m_1,1 justo para uma matriz M = (m_i,j). O n-th menor principal para uma matriz do nxn é justo a determinante dessa matriz.

A condição para um máximo relativo em um ponto crítico é que a matriz S deve definitivo negativo. Isto prevalecerá se os menores principais de S alternarem no sinal., começando com valores negativos para o primeiro menor principal.

Para um mínimo a circunstância é que a matriz S deve ser positiva que definitivo e este prevalecerá se os menores principais forem tudo positivos.

Para uma função bivariate f(x, y) isto significa que para para um máximo relativo em um ponto crítico deve ser aquele

f_xx < 0
e
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0.

Desde que f_xy = o f_yx esta última condição é indicado geralmente como

f_xxf_yy > f_xy².

A circunstância que f_yy tenha o mesmo sinal que o f_xx pode ser deduzido desta circunstância; isto é que o produto do f_xx e o f_yy devem ser positivos.

As condições para um mínimo relativo são aquela

f_xx > 0
e
f_xxf_yy - f_xy² > 0.

Cuidado: A circunstância isso

f_xxf_yy > f_xy²
 

é uma condição requerida para ter um máximo relativo ou um mínimo relativo. A menos que esta circunstância prevalecer não importa o que os sinais do f_xx ou o f_yy são.

Refinements

Na análise precedente o máximo relativo significou que o valor da função em um ponto crítico era estritamente mais grande do que os valores em pontos próximos. Se o máximo relativo for feito exame para significar que o valor da função no ponto crítico é mais grande do que ou o igual aos valores próximos então a condição na matriz S é que é semidefinite negativo. Do mesmo modo para um mínimo relativo que seja somente menos do que ou o igual aos valores próximos a condição em S é que deve semidefinite positivo.

Deixe-nos ir para trás agora ao exemplo simples de uma função univariate f (x). Que se, no ponto crítico, f " (x) = 0? Faz este meio que o ponto crítico é um ponto do inflection. Não necessariamente; o ponto crítico podia ainda ser um máximo relativo. A fim dizer nós necessitaríamos olhar os derivatives seguintes da função no ponto crítico. Se o segundo derivative estiver indo dos valores negativos aos valores positivos (que corresponde ao terceiro derivative, o f'" (x) que é positivo no ponto), a seguir é o ponto crítico é um ponto do inflection. É também um ponto do inflection é o segundo derivative está mudando dos valores positivos aos valores negativos (o terceiro derivative que é negativo). Mas se o segundo derivative for negativo e vai a zero no ponto crítico e torna-se então negativo outra vez (correspondendo ao terceiro derivative também que é zero no ponto crítico) então o ponto crítico é um máximo relativo. Se o segundo derivative fosse positivo em pontos perto do ponto crítico e zero no ponto crítico (que corresponde a um terceiro derivative zero no ponto crítico) então o ponto crítico seriam um mínimo relativo. Assim a fim determinar a natureza de um ponto crítico em que o segundo derivative é zero nós temos que olhar o valor do terceiro derivative. Se for nonzero então o ponto crítico é um ponto do inflection. Se fosse zero poderia ser um máximo ou o mínimo que depende em cima do valor do quarto derivative no crítico aponta.

Pôde-se parecer que as segundas condições precisas da ordem para um máximo poderiam ser formuladas nos termos do derivative nonzero seguinte. Entretanto, há um exemplo do teste que mostre como difícil é fazer as segundas condições da ordem precisas. Considere a função

f (x) = exp[- 1/x2]

Esta é uma função perfeitamente razoável que tenha um mínimo em x=0. O problema é que todos os derivatives desta função no x= 0 são zero. A função tem um mínimo bem definido em x=0 mas é “infinita lisa” em x=0.