A segunda condição familiar da ordem para um máximo relativo de uma função univariate f (x) no ponto crítico x=x₀ onde f'(x)=0 é que o segundo derivado nesse ponto deve ser negativo;

f"(x) < 0.

Do mesmo modo a segunda condição da ordem para um mínimo relativo é indic geralmente para ser que o segundo derivado em um ponto crítico deve ser positivo. Como será mostrado abaixo, este é um oversimplification. Mas deixar-nos consideram a generalização destas circunstâncias às funções múltiplas.

As segundas condições da ordem para um máximo relativo de uma função múltipla f(x₁, x₂, ...x_n) são indic o mais convenientemente nos termos das propriedades da matriz de segundos derivados,

S = (∂²f/∂x_j∂x_i) = f_i,j

Neste momento alguma terminologia nova deve ser introduzida. Um menor de uma matriz é a causa determinante de um submatrix dado forma suprimindo algumas fileiras e colunas de uma matriz. Os n-th menores principais de uma matriz são esses dados forma suprimindo todas as fileiras e colunas exceto as primeiras fileiras e colunas de n. Assim o primeiro menor principal é a causa determinante de consistir do submatrix o que é deixado quando todos mas a primeiras fileira e coluna são suprimidos. Isto é apenas m_1,1 para uma matriz M =(m_i,j). O n-th menor principal para uma matriz do n×n é apenas a causa determinante dessa matriz.

A condição para um máximo relativo em um ponto crítico é que a matriz S deve ser definitiva negativo. Isto prevalecerá se os menores principais de S alternam no sinal., começando com valores negativos para o primeiro menor principal.

Para um mínimo a circunstância é que a matriz S deve ser positiva que definitivo e este prevalecerá se os menores principais são tudo positivos.

Para uma função bivariate f(x,y) isto significa que para um máximo relativo em um ponto crítico se deve ser que

f_xx < 0
e
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0.

Desde que f_xy = f_yx esta última condição é indic geralmente como

f_xxf_yy > f_xy².

A circunstância que f_yy tem o mesmo sinal que f_xx pode ser deduzida desta circunstância; isto é de que o produto f_xx e f_yy deve ser positivo.

As condições para um mínimo relativo são aquela

f_xx > 0
e
f_xxf_yy - f_xy² > 0.

Cuidado: A circunstância isso

f_xxf_yy > f_xy²

é uma condição exigida para ter um máximo relativo ou um mínimo relativo. A menos que esta circunstância prevalecer não importa que os sinais f_xx ou f_yy are.

Refinamentos

Na análise precedente o máximo relativo significou que o valor da função em um ponto crítico era estritamente maior do que os valores em pontos próximos. Se o máximo relativo foi tomado para significar que o valor da função no ponto crítico é superior ou igual a os valores próximos então a condição na matriz S é que é semidefinite negativo. Do mesmo modo para um mínimo relativo que esteja somente inferior ou igual a próximo avalia a condição em S é que deve semidefinite positivo.

Deixar-nos ir para trás agora ao exemplo simples de uma função univariate f (x). Que se, no ponto crítico f"(x) = 0? Faz este meio que o ponto crítico é um ponto da inflexão. Não necessariamente; o ponto crítico podia ainda ser um máximo relativo. A fim dizer nós precisaríamos de olhar os derivados seguintes da função no ponto crítico. Se o segundo derivado está indo dos valores negativos aos valores positivos (que corresponde ao terceiro derivado, f'"(x) sendo positivo no ponto), a seguir é o ponto crítico é um ponto da inflexão. É igualmente um ponto da inflexão é o segundo derivado está mudando dos valores positivos aos valores negativos (o terceiro derivado que é negativo). Mas se o segundo derivado é negativo e isto vai a zero no ponto crítico e torna-se então negativo outra vez (correspondendo ao terceiro derivado igualmente que é zero no ponto crítico) então o ponto crítico é um máximo relativo. Se o segundo derivado é positivo em pontos perto do ponto crítico e zero no ponto crítico (que corresponde a um terceiro derivado zero no ponto crítico) então o ponto crítico seriam um mínimo relativo. Assim a fim determinar a natureza de um ponto crítico em que o segundo derivado é zero nós temos que olhar o valor do terceiro derivado. Se é diferente de zero então o ponto crítico é um ponto da inflexão. Se é zero poderia ser um máximo ou um mínimo dependendo do valor do quarto derivado no ponto crítico.

Pôde-se parecer que as segundas condições precisas da ordem para um máximo poderiam ser formuladas nos termos do derivado diferente de zero seguinte. Entretanto, há uma situação de teste que mostre como difícil é fazer as segundas condições da ordem precisas. Considerar a função

f(x) = exp[-1/x²]

Esta é uma função perfeitamente razoável em que tenha um mínimo x=0. O problema é que todos os derivados desta função no x= 0 são zero. A função tem um mínimo bem definido em x=0 mas é “infinita lisa” em x=0.