Förtrogen vän understöder beställer villkorar för ett släktingmaximum av ett univariate fungerar f (x) på det kritiskt pekar x=x₀ var f'(x)=0 är att understödjaderivatan på det pekar måste vara negationen;

f"(x) < 0.

Jämväl understödja beställer villkorar för en släktingminimi påstås vanligt för att vara att understödjaderivatan på ett kritiskt pekar måste vara realiteten. Som ska visas nedanfört, detta är en oversimplification. Men låt oss betraktar generalizationen av dessa villkorar till multivariats- fungerar.

Understödja beställer villkorar för ett släktingmaximum av ett multivariats- fungerar f(x₁, x₂, ...x_n) påstås lämpligast in benämner av rekvisitan av matrisen av understöder derivata,

S = (∂²f/∂x_j∂x_i) = f_i,j

På denna peka någon ny terminologi måste introduceras. En minderårig av en matris är bestämmande faktor av en submatrix som bildas, genom att ta bort något, ror och kolonner av en matris. Alla, de n-th främsta minderårigarna av en matris är de som bildas, genom att ta bort ror, och kolonner undantar det första net ror och kolonner. Således den första främsta minderårigen är bestämmande faktor av submatrixen som består av vad lämnas, när alla men första ror, och kolonnen tas bort. Detta är precis m_1,1 för en matris M =(m_i,j). Den n-th främsta minderårigen för en n×nmatris är precis bestämmande faktor av den matris.

Villkora för ett släktingmaximum på ett kritiskt pekar är att matrisen S måste vara den bestämda negationen. Ska detta segrar, om de främsta minderårigarna av S växlar undertecknar in., start med negation värderar för den första främsta minderårigen.

För en minimi villkora är att matrisen S måste vara den bestämda realiteten och ska detta segra, om de främsta minderårigarna är all realitet.

För ett bivariate fungera f(x,y) detta hjälpmedel som för ett släktingmaximum på ett kritiskt pekar det måste vara att

f_xx < 0
och
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0.

Sedan f_xy = f_yx denna sistnämnd villkorar påstås vanligt som

f_xxf_yy > f_xy².

Villkora, som f_yy har samma att underteckna som, f_xx kan sluta sig till från detta villkorar; som dvs. produkten av f_xx och f_yy måste vara realiteten.

Villkorar för en släktingminimi är det

f_xx > 0
och
f_xxf_yy - f_xy² > 0.

Varna: Villkora det

f_xxf_yy > f_xy²

är krävd villkorar för att ha endera ett släktingmaximum eller en släktingminimi. Om inte detta villkorar segrar det inte betyder vad teckenet av f_xx eller f_yy are.

Förfiningar

I föregående analyssläkting maximat betydde, att värdera av fungera på ett kritiskt pekar var strängt mer stor, än värderar på närliggande pekar. Om släktingmaximat togs för att betyda, att värdera av fungera på det kritiskt pekar, är mer stor, än eller jämbördigt till det närliggande värderar villkora på matrisen S är därefter att det är den semidefinite negationen. Jämväl för en släktingminimi, som är endast mindre, än eller jämbördig till närliggande värderar villkora på S är att det måste den semidefinite realiteten.

Låt oss gå till det enkla fallet av ett univariate fungerar tillbaka nu f (x). Vad, om, på det kritiskt peka f"(x) = 0? Gör detta medel som de kritiska pekar är en peka av modulationen. Inte nödvändigtvis; de kritiska pekar kunde stilla är ett släktingmaximum. För att berätta vi skulle behov att se de nästa derivata av fungera på det kritiskt pekar. Om understödjaderivatan går från negation värderar till realiteten värderar (som motsvarar till den tredje derivatan och f'"(x) att vara realiteten på peka), då är kritisk pekar är en peka av modulationen. Det är en peka av modulationen är också understödjaderivatan ändrar från realitet värderar till negationen värderar (den tredje derivatan som är negationen). Men, om understödjaderivatan är negationen och, detta går till nolla på det kritiskt pekar och blir därefter negationen, igen (motsvara till den tredje derivatan som är också noll på det kritiskt, peka), därefter som de kritiska pekar är ett släktingmaximum. Om understödjaderivatan är, realiteten på pekar nära det kritiskt pekar och zero på det kritiskt pekar (motsvara till en nolltredje derivata på det kritiskt peka), därefter det kritiskt pekar skulle är en släktingminimi. Således för att bestämma naturen av ett kritiskt peka på vilket understödjaderivatan är nolla som vi måste att se värdera av den tredje derivatan. Om den är ickenollställd därefter det kritiskt, peka är en peka av modulationen. Om den är nolla, det kunde vara ett maximum, eller minimien beroende av värdera av den fjärde derivatan på det kritiskt pekar.

Det styrkan verkar som om precisera understöder beställer villkorar för ett maximum kunde formuleras in benämner av den nästa ickenollställda derivatan. Emellertid det finns ett testafall som visar hur svårt det är att göra understödja att beställa villkorar preciserar. Betrakta fungera

f(x) = exp[-1/x²]

Detta är ett perfekt rimligt fungerar som har en minimi på x=0. Problemet är att alla derivata av denna fungerar på x= 0 är nolla. Fungera har en väl definierad minimi på x=0 men är ”sänker oändligt” på x=0.