Den bekant andra beställningbeskaffenheten för en släkting som är max av en univariate funktion f(x) hos den kritiska f'(x₀) =0 finnas var att den andra derivatan hos den punkt måstar finnas negativa;

f"(x) < 0.
 

Likewise den andra beställningbeskaffenheten för ett relativt minimum finnas vanligt påstått till finnas att den andra derivatan hos en kritisk punkt måstar finnas positivt. Såsom vilja finnas visat nedan, detta finnas en oversimplification. Men låtit oss anse generalizationen av dessa beskaffenhetar till multivariate funktioner.

De andra beställningbeskaffenhetarna för en släkting som är max av en multivariate funktion f(x₁, x₂,… x_n) finnas lämpligast påstått i ordalag av ägodelarna av matrisen av andra derivata,

S = (∂f²/∂x_j∂x_i) = f_i,j
 

Hos denna punkt någon ny terminologi måstar finnas infört. Ett mindre av en matris finnas determinanten av en submatrix som bildas, genom att ta bort några rader och spalter av en matris. De n-th föreståndareminorsna av en matris finnas ettor som bildas, genom att ta bort allaa rader, och spalter undantar de först n-raderna och spalter. Således den mindre först föreståndaren finnas determinanten av innefatta för submatrix vad finnas när alla vänstersida men den först raden och spalten finnas tagit bort. Detta finnas just m_1,1 för en matris M = (m_i,j). Den n-th föreståndaren som är mindre för en nxnmatris, finnas justt determinanten av den matris.

Beskaffenheten för en släkting som är max hos en kritisk punkt finnas att matrisen S måstar negativa bestämt. Denna vilja segrar, om föreståndareminorsna av S växlar i skylt. och att börja med negativa värden för den mindre först föreståndaren.

För ett minimum beskaffenheten finnas att matrisen S måstar finnas positivt bestämt och denna vilja segrar, om föreståndareminorsna finnas allat positivt.

För en bivariate funktion f(x,y) detta betyder det för för en släkting som är max hos en kritisk punkt som den måstar finnas det

f_xx < 0
och
f_xxf_yy - f_xyf_yx > 0.
 

Sedan f_xy = f_yx denna mer sena beskaffenhet finnas vanligt påstått såsom

f_xxf_yy > f_xy².
 

Beskaffenheten, som f_yy ha den samma skylten såsom f_xxburken, finnas deduced alltifrån denna beskaffenhet; dvs., som produkten av f_xx och de f_yy måstar, finnas positivt.

Beskaffenhetarna för ett relativt minimum finnas det

f_xx > 0
och
f_xxf_yy - f_xy2 > 0.
 

Varning: Beskaffenheten det

f_xxf_yy > f_xy²
 

finnas en fordrad beskaffenhet för att ha heller ett relativt maxt eller relativt minimum. Om inte denna beskaffenhet segrar, den inte ämnet vad skyltarna av f_xx eller de f_yy finnas.

Renodling

I det relativa maxt betydde för föregående analys att värdet av funktionen hos en kritisk punkt finnas strängt mer högre än värdena hos närliggande spårväxel. Om den relativa maxa voren som fattas till medelvägen, att värdet av funktionen hos den kritiska punkten finnas mer högre, än eller jämbördig till de närliggande värdena beskaffenheten på matrisen S finnas alltså att den finnas negativa semidefinite. Likewise för ett relativt minimum, som finnas bara mer mindre, än eller jämbördigt till närliggande värden beskaffenheten på S finnas att den måstar positivt semidefinite.

Låtit oss återgå nu till det enkla fallet av en univariate funktion f(x). Vad om, hos den kritiska punkten, f " (x) = 0? Gör denna medelväg att den kritiska punkten finnas en punkt av inflectionen. Inte nödvändigtvis; den kritiska punkten attr kunde finnas alltjämt en max släkting. För att berätta vi skade nöd till blicken hos de nästa derivata av funktionen hos den kritiska punkten. Om den andra derivatan finnas att gå alltifrån negativa värden till vilkna positiva värden (motsvarar till tredjedelderivatan, att finnas för f'" som (x) är positivt hos punkten), finnas alltså kritisk punkt finnas en punkt av inflectionen. Den finnas en punkt av inflectionen finnas dessutom den andra derivatan finnas att byta alltifrån positiva värden till negativa värden (finnas för tredjedelderivata som är negativa). Men, om den andra derivatan finnas negativa och, tillfaller noll hos den kritiska punkten och blir alltså negativa igen (motsvara till tredjedelderivatan som finnas dessutom noll hos den kritiska punkten) alltså den kritiska punkten finnas en max släkting. Om den andra derivatan finnas positivt hos spårväxel som är nära den kritiska punkten och noll hos den kritiska punkten (som motsvarar till en nolltredjedelderivata hos den kritiska punkten) alltså, den kritiska punkten skade finnas ett relativt minimum. Således för att att bestämma naturen av en kritisk punkt varvid den andra derivatan finnas noll som vi måster blick hos värdet av tredjedelderivatan. Om den finnas icke-nollställt alltså, den kritiska punkten finnas en punkt av inflectionen. Om den finnas noll som den attr kunde finnas ett maxt eller, minimum som beror på värdet av den fjärde derivatan hos det kritiskt, pekar.

Den fick förefaller de exakt andra beställningbeskaffenhetarna för ett maxt attr kunde finnas formulerat i ordalag av den nästa icke-nollställda derivatan. Emellertid det finnas ett testfall som visar hur besvärligt den finnas till fabrikatet andra de exakt beställningbeskaffenhetarna. Anse funktionen

f(x) = exp [- 1/x²]
 

Detta finnas en helt rimlig funktion som har ett minimum hos x=0. Problemet finnas att allaa derivata fungerar härav hos x= 0 finnas noll. Funktionen har brunnen definierat minimum hos x=0 men finnas ”oändligt lägenheten” hos x=0.