Il Arrow del Kenneth ha studiato il problema generale di individuazione della regola per constucting le preferenze sociali dalle diverse preferenze. Poichè un'introduzione al problema suppone abbiamo desiderato trovare la preferenza sociale per i tre sapori, vaniglia, cioccolato e fragole del gelato. Un metodo possibile per la determinazione della preferenza sociale è dalla maggioranza che vota sulle scelte fra ogni accoppiamento dei sapori.

Un insieme delle preferenze sarebbero razionale o transitivo se quando A è preferito alla B ed alla B è preferito alla C allora A è preferito al C.

Supponga che la popolazione è divisa uniformemente fra tre gruppi, X, Y e Z. I posti dei tre sapori del gelato per ciascuno dei gruppi sono dati sotto. Per esempio, la gente del gruppo X valuta la vaniglia come loro scelta di numero uno, il cioccolato come loro numero 2 choice e la fragola come loro terza scelta.

Ora consideri come il voto andrebbe fra i tre accoppiamenti possibili dei sapori. In un voto fra due sapori è presupposto che la gente voti per quella dei due che è la più alta nelle loro preferenze, anche se la loro scelta di numero uno può essere differente dai due che sono considerati.

In una scelta fra vaniglia e cioccolato, i gruppi di X voterebbero per vaniglia, il gruppo di Y inoltre voterebbe per vaniglia ed il gruppo di Z voterebbe per cioccolato. Così la vaniglia vincerebbe due terzi dei voti e potremmo dire che la vaniglia è preferita socialmente a cioccolato.

In una scelta fra cioccolato e la fragola il gruppo di X voterebbe per cioccolato, il gruppo di Y voterebbe per la fragola ed il gruppo di Z voterebbe per cioccolato in modo da il cioccolato vincerebbe. Così il cioccolato è preferito alla fragola. Prevedremmo razionale che questo implicasse che la vaniglia fosse preferita alla fragola. Ma consideri una scelta sociale dalla maggioranza che vota fra la vaniglia e la fragola. Il gruppo di X voterebbe per vaniglia, il gruppo di Y voterebbe per la fragola ed il gruppo di Z voterebbe per la fragola. Così la fragola è preferita socialmente a vaniglia.

Così abbiamo il risultato irrazionale che la vaniglia è preferita socialmente a cioccolato ed il cioccolato sia preferito alla fragola ma la fragola sia preferita a vaniglia.

Teorema di impossibilità dei Arrow del Kenneth

Il Arrow del Kenneth ha esaminato il problema rigorosamente specificando un insieme dei requisiti che dovrebbero essere soddisfatti da una regola accettabile per la costruzione socialmente delle preferenze dalle diverse preferenze; cioè,

• Le preferenze sociali dovrebbero essere complete in quanto dato una scelta fra le alternative A e B dovrebbe dire se A è preferito alla B, o la B sia preferita a A o che loro sia un'indifferenza sociale fra A ed il B.
• Le preferenze sociali dovrebbero essere transitive; cioè, se A è preferito alla B ed alla B è preferito alla C allora A inoltre è preferito al C.
• Se ogni individuo preferisce socialmente A - la B allora A dovrebbe essere preferito al B.
• Le preferenze non dovrebbero dipendere socialmente soltanto dalle preferenze di una indidual; cioè, il dictator.
• Le preferenze sociali dovrebbero essere indipendente dalle alternative irrilevanti; cioè, la preferenza sociale di A confrontata alla B dovrebbe essere indipendente dalle preferenze per altre alternative.

Che Arrow del Kenneth poteva risultare matematicamente è che non ci è metodo per la costruzione delle preferenze sociali dalle diverse preferenze arbitrarie. Cioè non ci è regola, maggioranza che vota o al contrario, per la stabilizzazione delle preferenze sociali dalle diverse preferenze arbitrarie.

Ciò era un risultato importante e per esso e l'altro Kenneth del lavoro il Arrow ha ricevuto il premio Nobel nell'economia.

Ci è unidirezionale da questa impasse per prendere le decisioni sociali con il processo politico. Se le diverse preferenze hanno alcune preferenze sociali di comunanza allora possono essere costruite. Se le alternative possono essere rappresentate come essendo gli elementi di uno spettro e le preferenze preferenze sociali di peakedness dell'esposizione degli individui di singole allora possono essere costruiti.