Een eenvoudige, nog Verbazende Stelling
Betreffende Gemiddelde Kromming van een Kromme

Een speciaal geval van de stelling zal worden voorgesteld eerst om lezers van de aard van de inhoud op de hoogte te brengen.

Laat f(x) een tweemaal differentieerbare functie zijn. Dan is de gemiddelde kromming tussen kritieke punten van f(x) gelijk aan nul.

De kritieke punten kunnen relatieve maxima, relatieve minima of verbuigingenpunten zijn. Zij zijn de punten dusdanig dat het eerste derivaat nul, f'(x) =0 is. De stelling is niet alleen op aangrenzende kritieke punten van toepassing; het is op om het even welke twee kritieke punten van de functie van toepassing is zij maxima, minima of verbuigingspunten.

De stelling kan gemakkelijk worden veralgemeend en het bewijs van de algemene stelling is zo eenvoudig het is niet waard het hinderen met het bewijs van de gespecialiseerde stelling. Voor de algemene stelling bepalen twee punten zoals zijnd parallelle rakenpunten als de hellingen van de kromme op die twee punten gelijk zijn; d.w.z., als f'(a) =f'(B) f(a) en f(B) parallel zijn richt het raken.

De stelling betreffende
Cumulatieve Kromming van een Kromme

Stelling: Als f(x) een tweemaal differentieerbare functie op één of ander interval toen is is de cumulatieve kromming tussen twee parallelle rakenpunten gelijk aan nul.

Bewijs:

Laat a en b om het even welke twee waarden van x in het interval van definitie voor f(x) zijn. De kromming is het tweede derivaat van de functie, f"(x). De cumulatieve kromming tussen a en b, C(a, b) wordt, langs gegeven

C(a,b)= ∫_a^bf"(x)dx = ∫_a^b(df'(x)/dx)dx
welke aan vermindert
C(a,b) = ∫_a^bdf'(x)= [f'(b)−f'(a)]

Wanneer a en b parallelle rakenpunten van de functie zijn, f'(a)=f'(b). Daarom is de cumulatieve kromming tussen parallelle rakenpunten 0.

Eind van bewijs.

De kritieke punten zijn eenvoudig parallelle rakenpunten waarvoor de hellingen nul zijn; d.w.z f'(a)=f'(b)=0. Het is niet van belang dat er andere waarden van x tussen a en b kunnen zijn, c zeggen, dusdanig dat f'(c)=f'(a)=f'(b). De cumulatieve kromming tussen a en c is nul en tussen c en b is nul, maar zo is het nul tussen a en b.

Als de cumulatieve kromming duidelijk nul toen is is de gemiddelde kromming ook nul.