Un teorema semplice, tuttavia stupefacente
Per quanto riguarda curvatura media di una curva

Un caso speciale del teorema sarà presentato in primo luogo per informare i lettori della natura del tema.

Lasciare la f(x) è una funzione due volte differenziabile. Allora la curvatura media fra i punti critici della f(x) è uguale a zero.

I punti critici possono essere massimi relativi, minimi revative o punti di flessioni. Sono i punti tali che il primo derivato è zero, f'(x)=0. Il teorema si applica non appena ai punti critici adiacenti; si applica a tutti i due punti critici della funzione è massimi, minimi o punti di flessione.

Il teorema può essere generalizzato facilmente e la prova del teorema generale è così semplice non è degno importunare con la prova del teorema specializzato. Per il General il teorem li ha lasciati definire due punti come essendo punti paralleli di tangenza se i pendii della curva a quei due punti sono uguali; cioè, se =f'(del f'(a) b) la f(a) e f(b) è punti paralleli di tangenza.

Il teorema Per quanto riguarda
Curvatura cumulativa di una linea

Teorema: Se f(x) è una funzione due volte differenziabile su un certo intervallo allora che la curvatura cumulativa fra due punti paralleli di tangenza è uguale a zero.

Prova:

Lasciare la a e la b essere tutti i due valori della x nell'intervallo della definizione per la f(x). La curvatura è il secondo derivato della funzione, f"(x). La curvatura cumulativa fra la a e la b, C(a, b), è data vicino

C(a,b)= ∫_a^bf"(x)dx = ∫_a^b(df'(x)/dx)dx
a quale si riduce
C(a,b) = ∫_a^bdf'(x)= [f'(b)−f'(a)]

Quando la a e la b sono punti paralleli di tangenza della funzione, f'(a)=f'(b). Di conseguenza la curvatura cumulativa fra i punti paralleli di tangenza è 0.

Estremità di prova.

I punti critici sono punti semplicemente paralleli di tangenza per cui i pendii sono zero; cioè, =f'(b)=0 del f'(a). Non importa che ci possano essere altri valori della x fra la a e la b, dice la c, tale che =f'(c)=f'(b). La curvatura cumulativa fra la a e la c è zero e fra la c e la b è zero, ma in modo da è zero fra la a ed il b.

Se la curvatura cumulativa è ovviamente zero allora la curvatura media è inoltre zero.