簡単で、けれどもすばらしい定理
カーブの平均湾曲に関して

定理の特例は件名の性質と読者に知らせるために最初に示される。

fを許可しなさい(x)は二度区別できる機能である。 それからfの屈曲点間の平均湾曲(x)はゼロと等しい。

屈曲点は相対的な最高、相対的な最低または屈曲ポイントであるかもしれない。 それらは第1次導関数がゼロであることポイントそのような物、f'(x)=0である。 定理は隣接した屈曲点にちょうど適用する; それは機能のあらゆる2つの屈曲点にであるそれら最高、最低または屈曲ポイント適用する。

定理は容易に一般化することができ、一般的な定理の証拠はある従って簡単専門にされた定理の証拠と迷惑を掛ける価値がない。 大将のために定理はそれら二つのポイントのカーブの斜面が等しければ私達が可能にし平行接触ポイントであると2ポイントを定義することを; すなわち、f'(ならa)=f'(b) f (a)およびf (b)は平行接触ポイントである。

定理に関する
ラインの累積湾曲

定理: fなら(x)は間隔の二度区別できる機能であるそれから2つの平行接触ポイント間の累積湾曲がゼロと等しい。

証拠:

aおよびbがf (x)のための定義の間隔のxの何れかの2つの価値があるようにしなさい。 湾曲は機能、(x) f "の第2派生物である。 aとb、C間の累積湾曲(aのb)は、与えられる

C(a,b)= ∫_a^bf"(x)dx = ∫_a^b(df'(x)/dx)dx
に減るかどれ
C(a,b) = ∫_a^bdf'(x)= [f'(b)−f'(a)]

aおよびbが機能の平行接触ポイントである時、f'(のa)=f'(b)。 従って平行接触ポイント間の累積湾曲は0である。

証拠の端。

屈曲点は斜面がゼロの単に平行接触ポイントである; すなわち f'(a)=f'(b)=0。 aとb間のxの他の価値があるかもしれないこと言うcを、そのような物こと重要ではない f'(c)=f'(a)=f'(b)。 aとc間の累積湾曲はゼロであり、cとbの間にゼロである、しかし従ってaとb.の間のゼロある。

累積湾曲が明らかにゼロそしてなら平均湾曲はまたゼロである。