一个简单，惊人的定理
关于线的平均曲度

首先将提出这个定理的一个特殊情况熟悉读者这个事项的本质。

让f (x)是一个两次可微函数。 然后平均曲度在关键步骤f之间(x)是相等的到零。

关键步骤也许是相对最大值、相对极小值或者变化点。 他们是点这样最初倒数是零， f'(x)=0。 这个定理适用不仅于毗邻关键步骤; 它适用于这个作用的所有二个关键步骤是他们最大值、极小值或者变化点。

这个定理可以容易地被推断，并且这个一般定理的证明是，很简单它不是值得打扰与这个专业定理的证明。 为这位将军，如果曲线的倾斜在那两点是相等的，定理让我们定义二点作为是平行的接触点; 即，如果f'(a)=f'(b) f (a)和f (b)是平行的接触点。

定理关于
线的渐增曲度

定理： 如果f (x)是一个两次可微函数在某一间隔时间然后渐增曲度在二平行的接触点之间是相等的到零。

证明：

让a和b是x的任何二价值在间隔时间定义为f (x)。 曲度是这个作用， f " (x)的第二种衍生物。 渐增曲度在a和b， C之间(等式给a， b)。

C(a,b)= ∫_a^bf"(x)dx = ∫_a^b(df'(x)/dx)dx
哪些减少
C(a,b) = ∫_a^bdf'(x)= [f'(b)−f'(a)]

当a和b是这个作用的平行的接触点， f'(a)=f'(b)。 所以渐增曲度在平行的接触点之间是0。

证明的末端。

关键步骤是完全倾斜是零的平行的接触点; 即， f'(a)=f'(b)=0。 不重要也许有x的其他价值在a和b之间，说c，这样f'(c)=f'(a)=f'(b)。 渐增曲度在a和c之间零，并且在c和b之间零，但是，因此是它零在a和b.之间。

如果渐增曲度明显地零然后平均曲度也零。