En enkel, Yet fantastisk Theorem
Angå genomsnittlig krökning av en bukta

Ett specialt fall av theoremen ska framläggas först för att bekanta avläsare med naturen av betvingamaterien.

Låt f(x) är ett två gånger differentiable fungerar. Därefter den genomsnittliga krökningen mellan kritiskt pekar av f(x) är jämbördig till nolla.

Kritiskt pekar kan vara släktingmaxima, släktingminimi, eller modulationer pekar. De är pekar sådan, att den första derivatan är nolla, f'(x) =0. Theoremen applicerar till närgränsande kritiskt pekar inte precis; den applicerar till några kritiska två pekar av fungera är dem maxima, minimi, eller modulationen pekar.

Theoremen kan lätt generaliseras, och det motståndskraftigt av den allmänna theoremen är, så enkelt det är inte värd som besvärar med det motståndskraftigt av den specialiserade theoremen. För generalen som theoremen l5At oss definiera två, pekar, som vara parallell tangency pekar, om sluttar av bukta på de två pekar är jämliket; dvs. om =f'(b för f'(a)) fet (a) och f(b) är parallell, tangency pekar.

Angå för Theorem
Växande krökning av en fodra

Theorem: Om f(x) är ett två gånger differentiable, fungera på något mellanrum därefter den växande krökningen mellan två som parallell tangency pekar är jämbördig till nolla.

Preparera:

Låt a, och b att vara några två värderar av x i mellanrummet av definitionen för f(x). Krökning är understödjaderivatan av fungera, f " (x). Den växande krökningen mellan a och b, C (a, b), ges by

C(a,b)= ∫_a^bf"(x)dx = ∫_a^b(df'(x)/dx)dx
vilket förminskar till
C(a,b) = ∫_a^bdf'(x)= [f'(b)−f'(a)]

När a och b är parallella, tangency pekar av fungera, f'(b) = f'(a)). Därför den växande krökningen mellan parallell tangency pekar är 0.

Avsluta av motståndskraftigt.

Kritiskt pekar är enkelt parallell tangency pekar för vilket sluttar är nolla; dvs f'(a)=f'(b)=0. Den betyder inte att det kan finnas annat värderar av x mellan a och b, något att säga c som är sådan att f'(c)=f'(a)=f'(b). Den växande krökningen mellan a och c är noll, och mellan c och b är noll, men så är det nolla mellan a och B.

Om den växande krökningen är nolla därefter självfallet, den genomsnittliga krökningen är också noll.