[كلّ وبأيشن] ال يصحّ أن يشتري أمن في يعيّن سعر (يدعى التمرين عمليّ أو [ستريك بريس]) أثناء يعيّن فترة زمنيّة. يوضع خيار الحق أن يبيع أمن في يعيّن سعر أثناء يعيّن فترة زمنيّة. خيارات أمريكيّة يستطيع كنت تدرّبت [أت ني تيم] حتّى ويتضمّن ال [دي وف إكسبيرأيشن] من الخيار. خيارات أوروبيّة يستطيع فقط كنت تدرّبت على ال [دي وف إكسبيرأيشن] من الخيار.

اختار [إكسفيسكهر-إكسبلك] و [مرون] [سكهولس] أن يحلّل الحالة البسيطة ، خيار أوروبيّة على مخزون أنّ لا يدفع حصة أثناء الحياة من الخيار. هم أيضا حدّدوا تحليلهم إلى شروط أيّ جعل المشكلة بسيطة حسابيّا. سيعطي القائمة ميلان إلى جانب الافتراضات كنت فيما بعد.

القيمة من [كلّ وبأيشن] أوروبيّة على [نونديفيدند] يدفع مخزون استطاع اعتمدت على [ا نومبر وف] عاملات ؛ ال [كرّنت بريس] من المخزون [س] ، ال [إإكسرسس بريس] [إكس] ، الوقت حتّى عمليّة زفير [ت] ، النسبة الفائدة ال [ريسك-فر] [ر] ، التطايرية من ال [ستوك بريس] [ق] ، وال يتوقّع [رت وف رتثرن] على ال μ المبتذلة. تركت [ك] كنت السعر من ال [كلّ وبأيشن]. الحالة اعتماد الوظيفيّة يستطيع بعد ذلك كنت عبّر عن بما أنّ:

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

سيكشف التحليل أنّ المتغير المتأخّرة ، μ ، لعب ما من دور في يحدّد خيار قيمة ل هذا حالة.

افترضت التغير في [ستوك بريس] [دس] أن يكون أعطيت جانبا:

dS = μSdt + qSdz
 
 

ب [إيتو] فرضية

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

الآن اعتبرت محفظة يحتوي واحدة يكتب دعوة (الذي قيمة يكون - [ك]) و [ه] سهام من المخزون الضمنيّة. أعطيت القيمة [ف] من هذا محفظة بما أنّ:

V = hS - C
 

التغير في قيمة بعد ذلك:

dV = hdS - dC
 

إن [ه] يكون يتماثل إلى [ك]/[س] بعد ذلك

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

هذا يعني أنّ التغير في القيمة من المحفظة [دف] على الفاصلة [دت]:

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

عندما ضممت مصطلحات نحن نجد أنّ أنّ يتضمّن [دز] يلغي خارجا. أيضا يلغي العبارات يتضمّن μ خارجا يترك:

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

لذلك [ف] عضو مستقلّ من العشوائيّة متغير [دز] ؛ [إي.] ، خطر يحرّر محفظة. أيضا القيمة ال [دف] عضو مستقلّ من ال يتوقّع [رت وف رتثرن] μ (أيّ يكون أيضا ال يتوقّع [رت وف غرووث] من [ستوك بريس] [س]).

بما أنّ القيمة من المحفظة يكون عضو مستقلّ من المتغير العشوائيّة هو سوفت زدت في قيمة في ال نفسه معدل بما أنّ الخطر مجّانا نسبة الفائدة ؛ [إي.] ،

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

ل هذا أن يتطلّب يمسك لكلّ [دت] أنّ:

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

أو

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

هذا ال [إكسبلك-سكهولس] [ديفّرنتيل قوأيشن] ل [كلّ وبأيشن] قيمة. حزنا نحن اعتبر ال يوضع قيمة [ب] [إينستد وف] الدعوة قيمة نحن كنّا قد تحنا مع ال نفسه معادلة. يعطي الحل من المعادلة الآنفة ل [ك]=حدّ أقصى ([س-إكس] ، 0) على عمليّة زفير يوم ال [إكسبلك-سكهولس] صيغة ل [كلّ وبأيشن] قيمة. يعطي الحل من المعادلة الآنفة ل [ك]=حدّ أقصى ([إكس-س] ، 0) على عمليّة زفير يوم القيمة من يوضع خيار.
 

الافتراضات يجعل في يستنتج ال [إكسبلك-سكهولس] [ديفّرنتيل قوأيشن]:

• ما من تغير في الرقم ال [شر وف ستوك] بارزة
• يدفع المخزون الضمنيّة ما من حصص أثناء الحياة من الخيار.
• يتلقّى السعر من المبتذلة واحدة فترة إلى الأمام توزيع [لوغ-نورمل] مع متوسّطة μ وتطايرية [ق] ، أيّ يكون كلا ثابتة على الحياة من الخيار.
• هناك يتواجد نسبة الفائدة [ريسك-فر] أيّ يكون ثابتة على الحياة من الخيار.
• سلّفت فردات يستطيع اقترضت [أس ولّ س] في النسبة الفائدة ال [ريسك-فر].

[هوم بج] ال [أبّلت-مجك] [هوم بج] [ثر] [وتكينس]