Une option d'achat est l'exacte pour acheter une sécurité à un prix indiqué (appelé le prix de l'exercice ou de grève) pendant une période indiquée. Une option mise est le droit de vendre une sécurité à un prix indiqué pendant une période indiquée. Des options américaines peuvent être exercées à tout moment jusques et y compris le jour de l'expiration de l'option. Des options européennes peuvent seulement être exercées le jour de l'expiration de l'option.

Fischer Black et Myron Scholes a choisi d'analyser le cas le plus simple, une option européenne sur des actions qui ne payent pas un dividende pendant la vie de l'option. Ils ont également limité leur analyse aux conditions qui ont rendu le problème plus simple mathématiquement. La liste de prétentions sera donnée plus tard.

La valeur d'une option d'achat européenne sur un nondividend payant des actions a pu dépendre d'un certain nombre de facteurs ; le prix actuel courant des actions S, le prix d'exercice X, le temps jusqu'à l'expiration t, le taux d'intérêt risque-libre r, la volatilité du cours des actions d'actions q, et le taux de rendement prévu sur le μ courant. Laissez C être le prix de l'option d'achat. La dépendance fonctionnelle peut alors être exprimée comme :

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

L'analyse indiquera que la dernière variable, μ, jeux aucun rôle en déterminant la valeur d'option pour ce cas.

On assume que le changement du cours des actions d'actions dS est donné par :

dS = μSdt + qSdz
 
 

Par Lemma d'Ito's

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

Considérez maintenant une brochure contenant un écrit l'appel (dont la valeur est - C) et les parts de h des actions fondamentales. La valeur V de cette brochure est indiquée comme :

V = hS - C
 

Le changement de la valeur est alors :

dV = hdS - dC
 

Si h est égal à ∂C/∂S alors

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

Ceci signifie que le changement de la valeur du dV de brochure au-dessus du décollement d'intervalle est :

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

Quand des limites sont combinées nous constatons que ceux qui impliquent le dz décommandent dehors. En outre les limites impliquant le μ décommandent l'omission :

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

Ainsi V est indépendant du dz de variable aléatoire ; c.-à-d., est un risque libèrent la brochure. En outre la valeur du dV est indépendant du taux de rendement prévu le μ (qui est également le taux de croissance prévu du cours des actions d'actions S).

Puisque la valeur de la brochure est indépendant de la variable aléatoire elle devrait augmenter en valeur au même taux que le taux d'intérêt de risque librement ; c.-à-d.,

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

Pour ceci se tenir pour tout le décollement exige cela :

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

ou

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

C'est l'équation de Black-Scholes pour la valeur d'option d'achat. Nous avons eus avons considéré la valeur mise P au lieu de la valeur d'appel que nous aurions proposée la même équation. La solution de l'équation ci-dessus pour C = maximum (S-X, 0) le jour d'expiration donne la formule de Black-Scholes pour la valeur d'option d'achat. La solution de l'équation ci-dessus pour C = maximum (X-S, 0) le jour d'expiration donne la valeur d'une option mise.
 

Les prétentions faites en dérivant l'équation de Black-Scholes sont :

• Aucun changement du nombre de parts des actions exceptionnelles
• Les actions fondamentales ne payent aucun dividende pendant la vie de l'option.
• Le prix de l'une période courante en avant a une distribution log-normale avec le μ et la volatilité moyens q, qui sont deux constante au cours de la vie de l'option.
• Là existe un taux d'intérêt risque-libre qui est constant au cours de la vie de l'option.
• Les individus peuvent emprunter comme prêtez au taux d'intérêt risque-libre.