Eine Kaufoption ist, zum einer Sicherheit zu einem spezifizierten Preis (genannt die übung oder der Abschlußkurs) während eines spezifizierten Zeitabschnitts zu kaufen das rechte. Eine gesetzte Wahl ist das Recht, eine Sicherheit zu einem spezifizierten Preis während eines spezifizierten Zeitabschnitts zu verkaufen. Amerikanische Optionen können bis einschliesslich dem Verfalltag der Wahl jederzeit ausgeübt werden. Europäische Optionen können am Verfalltag der Wahl nur ausgeübt werden.

Fischer Black und Myron Scholes beschlossen, den einfachsten Fall, eine europäische Wahl zu analysieren auf einem Vorrat, der eine Dividende nicht während des Lebens der Wahl zahlt. Sie begrenzten auch ihre Analyse auf Bedingungen, die das Problem einfacher mathematisch bildeten. Die Liste von Annahmen wird später gegeben.

Der Wert einer europäischen Kaufoption auf einem nondividend, das Vorrat zahlt, konnte nach einer Anzahl von Faktoren abhängen; der Tagespreis des Vorrates S, der übung Preis X, die Zeit bis Verfall t, der Gefahr-freie Zinssatz r, die Flüchtigkeit des Aktienpreises q und das erwartete Leistungsgrad auf dem auf lagerμ. Lassen Sie C der Preis der Kaufoption sein. Die Funktionsabhängigkeit kann wie dann ausgedrückt werden:

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

Die Analyse deckt daß die letzte Variable, μ, Spiele keine Rolle auf, wenn sie Wahlwert für diesen Fall feststellt.

Die änderung im Aktienpreis dS wird angenommen, vorbei gegeben zu werden:

dS = μSdt + qSdz
 
 

Durch Lemma Itos

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

Betrachten Sie jetzt eine Mappe, die ein enthält, das Anruf schriftlich ist (dessen Wert ist - C) und h Anteile des zugrundeliegenden Vorrates. Der Wert V dieser Mappe wird wie gegeben:

V = hS - C
 

Die änderung im Wert ist dann:

dV = hdS - dC
 

Wenn h ∂C/∂S dann gleich ist

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

Dies heißt, daß die änderung im Wert des Mappe dV über dem Abstand Papier.lösekorotron ist:

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

Wenn Bezeichnungen kombiniert werden, finden wir, daß die, die dz mit einbeziehen, heraus annullieren. Auch die Bezeichnungen, die μ mit einbeziehen, annullieren auslassen:

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

So ist V Unabhängiges des Zufallsvariable dz; ist d.h. eine Gefahr freigeben Mappe. Auch der Wert von dV ist Unabhängiges des erwarteten Leistungsgrades μ (das auch die erwartete Zuwachsrate Aktienpreises S ist).

Da der Wert der Mappe Unabhängiges der Zufallsvariable ist, sollte er des Wertes mit der gleichen Rate wie der Gefahr Zinssatz frei sich erhöhen; d.h.

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

Für dieses, für alles Papier.lösekorotron erfordert zu halten das:

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

oder

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

Dieses ist die Black-Scholes Differentialgleichung für Kaufoptionwert. Hatten wir betrachteten den gesetzten Wert P anstelle vom Anrufwert, den wir oben mit der gleichen Gleichung gekommen sein würden. Die Lösung der oben genannten Gleichung für C = Maximum (S-X, 0) am Verfalltag gibt die Black-Scholes Formel für Kaufoptionwert. Die Lösung der oben genannten Gleichung für C = Maximum (X-S, 0) am Verfalltag gibt den Wert einer gesetzten Wahl.
 

Die Annahmen, die gebildet werden, wenn sie die Black-Scholes Differentialgleichung ableiten, sind:

• Keine änderung in der Zahl den Kapitalanteilen hervorragend
• Der zugrundeliegende Vorrat zahlt keine Dividenden während des Lebens der Wahl.
• Der Preis der auf lager Periode voran hat eine log-normal Verteilung mit Mittelμ und Flüchtigkeit q, die beide Konstante über dem Leben der Wahl sind.
• Besteht ein Gefahr-freier Zinssatz, der über dem Leben der Wahl konstant ist.
• Einzelpersonen können sowie borgen, verleihen Sie am Gefahr-freien Zinssatz.

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