Un'opzione di chiamata è il di destra per comprare una sicurezza ad un prezzo specificato (denominato il prezzo di colpo o di esercitazione) durante il periodo di tempo specificato. Un'opzione messa è la destra vendere una sicurezza ad un prezzo specificato durante il periodo di tempo specificato. Le opzioni americane possono essere esercitate in qualunque momento fino a e includendo il giorno della scadenza dell'opzione. Le opzioni europee possono essere esercitate soltanto il giorno della scadenza dell'opzione.

Fischer Black e Myron Scholes hanno scelto analizzare il caso più semplice, un'opzione europea sulle azione che non pagano un dividendo durante la durata dell'opzione. Inoltre hanno limitato la loro analisi alle circostanze che hanno reso il problema più semplice matematicamente. La lista dei presupposti sarà data più successivamente.

Il valore di un'opzione di chiamata europea su un nondividend che paga le azione ha potuto dipendere da un certo numero di fattori; il prezzo corrente delle azione S, il prezzo di esercitazione X, il tempo fino alla scadenza t, il tasso d'interesse rischio-libero r, la volatilità del prezzo di riserva q ed il tasso di rendimento previsto sul μ di riserva. Lasci la C essere il prezzo dell'opzione di chiamata. La dipendenza funzionale può allora essere espressa come:

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

L'analisi rivelerà che l'ultima variabile, il μ, giochi nessun ruolo nella determinazione del valore di opzione per questo caso.

La variazione delle scorte il prezzo dS è presupposta per essere data vicino:

dS = μSdt + qSdz
 
 

Da Lemma del Ito

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

Ora consideri una cartella che contiene uno scritto la chiamata (di cui il valore è - C) e le parti di h delle azione di fondo. Il valore V di questa cartella è dato come:

V = hS - C
 

Il cambiamento nel valore è allora:

dV = hdS - dC
 

Se la h allora è uguale a ∂C/∂S

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

Ciò significa che il cambiamento nel valore del dV della cartella sopra il distacco di intervallo è:

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

Quando i termini sono uniti troviamo che quelli che coinvolgono il dz annullano fuori. Inoltre i termini che coinvolgono il μ annullano omettere:

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

Così la V è indipendente dal dz di variabile casuale; cioè, è un rischio libera la cartella. Inoltre il valore di dV è indipendente dal tasso di rendimento previsto il μ (che è inoltre il tasso di crescita previsto del prezzo di riserva S).

Poiché il valore della cartella è indipendente dalla variabile casuale dovrebbe aumentare liberamente di valore allo stesso tasso del tasso d'interesse di rischio; cioè,

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

Per questo tenere per tutto il distacco richiede quello:

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

o

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

Ciò è l'equazione differenziale dei Black-Scholes per valore di opzione di chiamata. Abbiamo avuti abbiamo considerato il valore messo P anziché il valore che di chiamata avremmo fornito la stessa equazione. La soluzione di suddetta equazione per C = massimo (S-X, 0) il giorno di scadenza dà la formula dei Black-Scholes per valore di opzione di chiamata. La soluzione di suddetta equazione per C = massimo (X-S, 0) il giorno di scadenza dà il valore di un'opzione messa.
 

I presupposti fatti nel derivare l'equazione differenziale dei Black-Scholes sono:

• Nessun cambiamento nel numero di parti delle azione eccezionali
• Le azione di fondo non pagano dividendi durante la durata dell'opzione.
• Il prezzo dell'un periodo di riserva avanti ha una distribuzione log-normale con μ e volatilità medi q, che sono entrambi costante sopra la durata dell'opzione.
• Esiste un tasso d'interesse rischio-libero che è costante sopra la durata dell'opzione.
• Gli individui possono prendere in prestito come pure presti al tasso d'interesse rischio-libero.

HOME PAGE OF applet-magic HOME PAGE OF Thayer Watkins