是不错购买安全的购买选择权以一个指定的价格(称锻炼或结算价)在一个指定的时期。 一个出售选择权是权利卖安全以一个指定的价格在一个指定的时期。 美国选择可以任何时候行使大到期满日选择的。 欧洲选择可能在选择的失效的那天只行使。

Fischer Black和Myron Scholes在选择的生活期间，不支付股息的股票选择分析最简单的案件，欧洲选择。 他们也限制了他们的分析到数学上使问题更加简单的情况。 以后将给假定名单。

欧洲购买选择权的价值在支付股票的nondividend能取决于一定数量的因素; 股票S的现价，预购股票价格x，时间直到失效t，无风险的利率r，股票价格q的挥发性和期望的回报率在储蓄μ。 让C是购买选择权的价格。 函数依赖可能然后被表达如下：

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

分析将显露最后可变物， μ，戏剧在确定选项值的没有角色为这个案件。

假设给储备变化价格dS ：

dS = μSdt + qSdz
 
 

由Ito的Lemma

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

现在考虑包含一的一份股份单书面电话(的价值是- C)和部下的股票的h份额。 测量这份股份单的价值v如下：

V = hS - C
 

在价值上的变化是然后：

dV = hdS - dC
 

如果h与∂C/∂S然后是相等的

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

这意味着在股份单dV上的价值的变化在间隔时间dt是：

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

当期限被结合时我们发现介入dz的那些取消。 并且介入μ的期限取消省略：

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

因而V是随机变量dz的独立; 即，是一份无风险的股份单。 并且dV的价值是期望的回报率的独立也是期望的增长率股票价格S)的μ (。

因为股份单的价值是随机变量的独立它应该增值以率和无风险的利率一样; 即，

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

为此为所有dt举行要求那：

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

或

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

这是Black-Scholes微分方程为购买选择权价值。 有我们考虑了被投入的价值P而不是我们会产生同一个等式的电话价值。 上述等式的解答为C =最大(S-X， 0)在失效天给Black-Scholes惯例为购买选择权价值。 上述等式的解答为C =最大(X-S， 0)在失效天给一个出售选择权的价值。
 

在获得Black-Scholes微分方程做的假定是：

• 在股份上的数量的没有变化卓著
• 在选择的生活期间，部下的股票不支付股息。
• 前面储蓄一个期间的价格有记录正常的发行以卑鄙μ和挥发性q，是都常数在选择的生活期间。
• 那里存在是恒定的在选择的生活期间的一种无风险的利率。
• 个体能借用以及借在无风险的利率。

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