Uma opção de chamada é a direita para comprar uma segurança em um preço especificado (chamado o preço do exercício ou de batida) durante um período de tempo especificado. Uma opção posta é a direita vender uma segurança em um preço especificado durante um período de tempo especificado. As opções americanas podem ser exercitadas em em qualquer altura que até e incluindo o dia de expiração da opção. As opções européias podem somente ser exercitadas no dia de expiração da opção.

Fischer Black e Myron Scholes escolheram analisar o caso o mais simples, uma opção européia em um estoque que não pagasse um dividendo durante a vida da opção. Limitaram também sua análise às circunstâncias que fizeram o problema mais simples matematicamente. A lista das suposições será dada mais tarde.

O valor de uma opção de chamada européia em um nondividend que paga o estoque podia depender em cima de um número de fatores; o preço atual do estoque S, o preço de exercício X, o tempo até a expiração t, a taxa de interesse risco-livre r, a volatilidade do preço conservado em estoque q, e a taxa de retorno prevista no μ conservado em estoque. Deixe C ser o preço da opção de chamada. A dependência funcional pode então ser expressada como:

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

A análise revelará que a última variável, μ, jogos nenhum papel em determinar o valor da opção para este caso.

A mudança no preço conservado em estoque dS é suposta para ser dada perto:

dS = μSdt + qSdz
 
 

Por Lemma de Ito

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

Considere agora um portfolio que contem um escrito a chamada (cujo o valor é - C) e as partes de h do estoque subjacente. O valor V deste portfolio é dado como:

V = hS - C
 

A mudança no valor é então:

dV = hdS - dC
 

Se h for igual a ∂C/∂S então

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

Isto significa que a mudança no valor do dV do portfolio sobre o descolamento do intervalo é:

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

Quando os termos são combinados nós encontramos que aqueles que envolvem o dz cancelam para fora. Também os termos que envolvem o μ cancelam para fora sair:

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

Assim V é independent do dz da variável aleatória; isto é, é um risco livra o portfolio. Também o valor do dV é independent da taxa prevista do μ do retorno (que é também a taxa de crescimento prevista do preço conservado em estoque S).

Desde que o valor do portfolio é independent da variável aleatória deve aumentar no valor na mesma taxa que a taxa de interesse do risco livre; isto é,

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

Para este prender para todo o descolamento requer aquele:

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

ou

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

Esta é a equação diferencial dos Black-Scholes para o valor da opção de chamada. Tivemos nós consideramos o valor posto P em vez do valor que da chamada nós viríamos acima com a mesma equação. A solução da equação acima para C = máximo (S-X, 0) no dia da expiração dá a fórmula dos Black-Scholes para o valor da opção de chamada. A solução da equação acima para C = máximo (X-S, 0) no dia da expiração dá o valor de uma opção posta.
 

As suposições feitas em derivar a equação diferencial dos Black-Scholes são:

• Nenhuma mudança no número das partes de estoque proeminentes
• O estoque subjacente não paga nenhum dividendo durante a vida da opção.
• O preço do um período conservado em estoque adiante tem uma distribuição log-normal com μ e volatilidade médios q, que são ambos constante sobre a vida da opção.
• Existe uma taxa de interesse risco-livre que seja constante sobre a vida da opção.
• Os indivíduos podem pedir assim como empreste na taxa de interesse risco-livre.

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