San José State University
Department of Economics

applet-magic.com
Thayer Watkins
Silicon Valley
& Tornado Alley
U.S.A.

Derivare de ecuaþie de Black ºi Scholes pentru valoare de opþiuni

O opþiune de chemare este dreaptã pentru a cumpãra o protecþie la un preþ specific( exerciþiul chemat sau greva sã fixeze) în timpul o opþiune unei perioadei de timp specificã pusã este dreaptã pentru a vinde o protecþie la un preþ specific în timpul opþiuni perioadei de timp specifice americane sã poatã sã fie fãcute miºcare oricând pânã la ºi incluzând ziua de opþiune de expirare. Opþiuni europene sã poatã numai sã fie fãcute miºcare pe zi de opþiune de expirare.

Fischer Black  ºi Myron Scholes a preferat sã analizeze cazul cel mai simplest, o opþiune europeanã pe un stoc care nu plãteºte un deîmpãrþit în timpul opþiune de vieþii. Ei de asemenea analizele restrânse lor la condiþiile care problema fãcutã simplã din punct de vedere matematic. Lista de presupuneri vor fi vor da întârziate.

Valoarea unei opþiunea de chemare europeanã pe un deîmpãrþit plãtind un stoc sã depindã de o seamã de un factori; Preþul curent sã aprovizioneze S, preþul de exerciþiu X, timpul pânã ce expirarea t, riscul-liber  rata dobânzii r, volatilitatea preþul de stocului q, ºi rata de recuperare aºteptatã pe aprovizioneazã μ. Lãsatã C sã fie preþul opþiunea de chemarii. Dependenþã funcþionalã poate dupã aceea sã fie expresã pe mãsura ce:


C = C( S, X, t, r, q, μ)
 

Analizele vor dezvãlui acel ultimele variabile, μ, Jocurile nu rolul în determinând valoarea de opþiune pentru acest caz.

Schimbarea în stoc sã fixeze dS este presupus sã fie sã dea cu:


dS = μSdt + qSdz
 
 

Cu Ito's Lemma


dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂2C/∂S2)q2S2]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

Acum luaþi în consideraþie o servietã conþinând una scrisã chemarea( a cui valoare este -C) ºi h împarte underlying stocului. Evaluaþi V de aceastã servietã este datã precum:


V = hS - C
 

Schimbarea în valoare este dupã aceea:


dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

Dacã h egalizeazã ∂C/∂S dupã aceea


dV = (∂C/∂S)(µSdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂2C/∂S2)q2S2]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

Aceastã mediile care schimbarea în valoare servietei dv peste intervalul dt este:


dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

Când termenele sunt combinate noi gãsim acel acei implicând dz neutralizeazã. De asemenea termenele implicând μ Neutralizaþi permisiune:


dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂2C/∂S2) q2S2]dt.
 

Astfel V este independentã aleatoare variabile dz; Eu. E., Este o servietã de risc liberã. De asemenea valoarea de Dv este independentã rata de recuperare aºteptatã μ Care este de asemenea ritmul aºteptat de creºtere de stoc sã fixeze S).

De atunci valoarea servietei este independentã aleatoare variabile lui ar trebui sã sporeascã în valoare la aceeaºi sã fie apreciat ca riscul sã elibereze rata dobânzii; Eu. E.,


dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

Pentru acest pentru a þine pentru tot dt necesitã cã:


(∂C/∂t) + (1/2)(∂2C/∂S2)q2S2 = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

Sau


(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂2C/∂S2)q2S2 = rC.
 

Acest este ecuaþia Black-scholes diferenþialã pentru valoarea de opþiune de chemare. Noi ne-am socotit am pus sã evaluãm P în loc de valoarea pe care noi sã vinã sus cu aceeaºi ecuaþie. Soluþia ecuaþie de mai sus pentru C = max( S-X,0), pe ziua de expirare dã formula Black-scholes pentru valoarea de opþiune de chemare. Soluþie ecuaþie de mai sus pentru C = max( X-S,0) pe ziua de expirare dã valoarea unei opþiunea pusã.
 

Presupunerile fabricate în provenind din ecuaþia Black-scholes diferenþialã sunteþi:

HOME PAGE OF applet-magic
HOME PAGE OF Thayer Watkins
1