Ett appellalternativ är rakt till köp som en specificerad säkerhet på prissätter (kallat öva eller slaget prissätta) under en specificerad tidsperiod. Ett satt alternativ är rakt till sellen som en specificerad säkerhet på prissätter under en specificerad tidsperiod. Amerikanalternativ kan övas när som helst upp till och däribland dagen av förfallodagen av alternativet. Européalternativ kan endast övas på dagen av förfallodagen av alternativet.

Fischer Black och Myron Scholes valde att analysera det enklaste fallet, ett européalternativ på en lagerföra som inte betalar en utdelning under livet av alternativet. De begränsade också deras analys villkorar som gjorde problemet enklare matematiskt. Lista av antaganden ska ges mer sistnämnd.

Värdera av ett européappellalternativ på betala för nondividend lagerför kunde bero på ett nummer av dela upp i faktorer; strömmen prissätter av lagerföra S, öva prissätter X, tiden, tills förfallodag t, den risk-free räntesatsen r, flyktigheten av aktiekursen q och förväntade klassar av retur på lagerföraμen. Låt C vara prissätta av appellalternativet. Det funktionella beroendet kan därefter uttryckas som:

C = C(S, X, t, r, q, μ).
 

Den ska analysen avslöjer att den sist variabeln, μ, lekar som ingen roll, i att bestämma alternativ, värdera för detta fall.

Ändringen i aktiekursen dS antas för att ges by:

dS = μSdt + qSdz
 
 

Vid Itos Lemma

dC = [(∂C/∂t) + (∂C/∂S) μS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt + (∂C/∂S)qSdz.
 

Betrakta nu en portfölj som innehåller en skriftlig appell (vars värderar är - C), och H-aktier av det bakomliggande lagerför. Värdera V av denna portfölj ges som:

V = hS - C
 

Ändringen värderar in är därefter:

dV = hdS - dC
 

Om H är jämbördigt till ∂C/∂S därefter

dV = (∂C/∂S)dS -dC.
 

Detta hjälpmedel att ändringen i värdera av portföljdVen över mellanrumavskiljaren är:

dV = (∂C/∂S)(Sdt + qSdz) - [(∂C/S)μS + (∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S²]dt - (∂C/∂S)qSdz.
 

När benämner, är kombinerat vi finner att de som gäller dz avbryter ut. Också benämner att gälla μ avbryter ut att lämna:

dV = [ -(∂C/∂t) - (1/2)(∂²C/∂S²) q²S²]dt.
 

Således V är vilden av den slumpmässiga variabeln dz; är dvs. en riskera frigör portföljen. Också värdera av dV är vilden av förväntad klassar av återgång μ (som är förväntad klassar också av tillväxt av aktiekurs S).

Sedan värdera av portföljen är vilden av den slumpmässiga variabeln, den bör förhöjning in värdera på samma klassar som den fria räntesatsen för riskera; dvs.

dV = rVdt = r[(∂C/∂S)S - C]dt
 
 

För att detta ska rymma för all avskiljare kräver det:

(∂C/∂t) + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = - r(∂C/∂S)S + rC,
 

eller

(∂C/∂t) + (∂C/∂S)rS + (1/2)(∂²C/∂S²)q²S² = rC.
 

Denna är Blackna-Scholes som den differentiella likställanden för appellalternativ värderar. Hade har vi ansedd som sattes för att värdera P i stället för appellen, värderar oss skulle kommit upp med den samma likställanden. Lösningen av den ovannämnda likställanden för C = max (S-X, 0) på förfallodagdag ger Blackna-Scholes som formeln för appellalternativ värderar. Lösningen av den ovannämnda likställanden för C = max (X-S, 0) på förfallodagdag ger värdera av ett satt alternativ.
 

Antagandena som göras, i att härleda den differentiella likställanden för Black-Scholes, är:

• Ingen ändring i numrera av aktier av lagerför utstående
• Det bakomliggande lagerför löner inga utdelningar under livet av alternativet.
• Prissätta av lagerföra en period framåt har en log-normal fördelning med genomsnittlig μ och flyktighet q, som är båda konstanten över livet av alternativet.
• Det finns en risk-free räntesats som är konstant över livet av alternativet.
• Individer kan låna, såväl som låna på den risk-free räntesatsen.

HEMSIDA AV applet-magi HEMSIDA AV Thayer Watkins