Brillouin-Zonen

Brillouin-Zonen sind eine wichtige Eigenschaft der Kristallstrukturen. Der Aufbau und die Abbildung der Brillouin-Zonen für ein dreidimensionales Gitter sind ein wenig schwierig zu folgen. Der Aufbau der Brillouin-Zonen für ein zweidimensionales Gitter ist viel einfacher zu folgen.

Dieses ist eine Skizze des Aufbaus der ersten vier Brillouin-Zonen für ein quadratisches Gitter. Zuerst einige Definitionen.

Eine Bragg Fläche für zwei Punkte in einem Gitter ist die Fläche, die zur Linie zwischen den zwei Punkten senkrecht ist und durch bisector dieser Linie überschreitet. Der erste Brillouin - Zone für einen Punkt in einem Gitter ist der Satz der Punkte, die näeher an dem Punkt als die Bragg Fläche irgendeines Punktes sind. Mit anderen Worten kann man irgendwelche der Punkte im ersten Brillouin - Zone eines Gitterpunktes erreichen, ohne die Bragg Fläche irgendeines anderen Punktes im Gitter zu kreuzen.

Der zweite Brillouin - Zone wird als die Punkte definiert, die vom ersten Brillouin erreicht werden können - Zone, durch die Kreuzung von nur einem Bragg „, Fläche.“ Dieses kann generalisiert werden, um den n-th Brillouin zu definieren - Zone als der Satz der Punkte, nicht in den vorhergehenden Zonen, die von einer erreicht werden können (n-1)-th zone, indem man eine und nur eine Bragg Fläche kreuzt.

Wenn man die Brillouin-Zonen für einen Punkt konstruiert, ist es zu zuerst feststellt die nächsten Nachbarn, die folgenden nächsten Nachbarn und so weiter angebracht. Dieses wird bequem mit einem quadratischen Gitter veranschaulicht. Unten gezeigt die nächsten durchgehenden viert-nächsten Nachbarn und ihre Bragg Linien.

Die Zonen können von ihren Definitionen entschlossen leicht sein. Die erste Zone, eine innerhalb aller Bragg Linien wird Rot unten gezeigt. Die zweite Zone ist alle Punkte, die erreicht werden können, indem man eine und nur eine Bragg Linie von der ersten Zone kreuzt. Die zweite Zone wird im Grün in der Abbildung unten gezeigt. Die dritte Zone, gezeigt im Blau, besteht aus allen Punkten, die erreicht werden können, indem man nur eine Bragg Linie von der zweiten Zone kreuzt. Die vierte Zone wird im Schwarzen gezeigt.

Fermi-Oberflächen und Brillouin-Zonen

Ein zweidimensionales Gitter betrachten, das zwei Elektronen pro Maßeinheitszelle hat. Der Bereich des Fermi-Kreises für die Elektronen hat dann einen Bereich, der dem Bereich des ersten Brillouins - Zone gleich ist, 1 (Gittermaßeinheit) ^2. Der Radius des Fermi-Kreises ist folglich
1/(π)^1/2. Der fermi-Kreis, der auf den Brillouin-Zonen gelegt wird, ist, wie folgt:

Die Bestandteile des Fermi-Kreises draußen des ersten Brillouins - Zone kann zurück in die erste Zone durch einen Gittervektor übersetzt werden. Das Resultat ist wie gezeigt unten.

Wenn es vier Elektronen pro Maßeinheitszelle gibt, hat der Fermi zweimal den Bereich; d.h. 2 und der Radius des Fermi-Kreises ist dann [2/π] ^1/2. Dieser Fermi-Kreis, der nach den Fermi-Zonen gelegt wird, ist wie gezeigt unten:

Wenn alle Bestandteile des Fermi-Kreises zurück zu dem ersten Brillouin übersetzt werden - das Resultat in Zonen aufteilen ist als unten: