Zone di Brillouin

Gli zone di Brillouin sono una caratteristica importante delle strutture di cristallo. La costruzione e l'illustrazione degli zone di Brillouin per una grata tridimensionale sono in qualche modo difficili da seguire. La costruzione degli zone di Brillouin per una grata bidimensionale è molto più facile da seguire.

Ciò è un abbozzo della costruzione dei primi quattro zone di Brillouin per un reticolo quadrato. In primo luogo, alcune definizioni.

Un aereo di Bragg per due punti in una grata è l'aereo che è perpendicolare alla linea fra i due punti ed attraversa il bisector di quella linea. Il primo zona di Brillouin per un punto in una grata è l'insieme dei punti che sono più vicino al punto che il piano di Bragg di qualsiasi punto. In altre parole uno può raggiungere c'è ne dei punti nel primo zona di Brillouin di un punto della grata senza attraversare il piano di Bragg di qualunque altro punto nella grata.

Il secondo zona di Brillouin è definito come i punti che possono essere raggiunti dal primo zona di Brillouin attraversando soltanto un Bragg “aereo.„ Ciò può essere generalizzata per definire l'ennesimo zona di Brillouin come l'insieme dei punti, non nelle zone precedenti, che possono essere raggiunte da una (n-1)-th zona attraversando un e soltanto un aereo di Bragg.

Nella costruzione degli zone di Brillouin per un punto è conveniente ad in primo luogo determina i vicini più vicini, i vicini più vicini seguenti e così via. Ciò è illustrata convenientemente con un reticolo quadrato. Sono indicati sotto i vicini quarto-più vicini diretti più vicini e le loro linee di Bragg.

Le zone possono facilmente essere risolute dalle loro definizioni. La prima zona, una all'interno di tutte linee di Bragg è indicata il colore rosso qui sotto. La seconda zona è tutti i punti che possono essere raggiunti attraversando una e soltanto una linea di Bragg dalla prima zona. La seconda zona è indicata nel verde nell'illustrazione qui sotto. La terza zona, indicata in azzurro, consiste di tutti i punti che possono essere raggiunti attraversando soltanto una linea di Bragg dalla seconda zona. La quarta zona è indicata nel nero.

Superfici e zone di Brillouin del Fermi

Considerare una grata bidimensionale che ha due elettroni per cellula di unità. La zona del cerchio del Fermi per gli elettroni allora ha una zona uguale alla zona del primo zona di Brillouin, 1 (unità della grata) ^2. Il raggio del cerchio del Fermi è così
1/(π)^1/2. Il cerchio del Fermi sovrapposto sugli zone di Brillouin è come segue:

Le componenti del cerchio del Fermi all'esterno del primo zona di Brillouin possono essere tradotte nuovamente dentro la prima zona da un vettore della grata. Il risultato è come indicato sotto.

Quando ci sono quattro elettroni per cellula di unità il Fermi ha due volte la zona; cioè, 2 ed il raggio del cerchio del Fermi sono allora [2/π] ^1/2. Questo cerchio del Fermi sovrapposto sulle zone del Fermi è come indicato qui sotto:

Quando tutte le componenti del cerchio del Fermi sono tradotte di nuovo al primo zona di Brillouin il risultato è come qui sotto: