Bien qu'il tente, et généralement fait, pour définir de vrais nombres en tant qu'ordres infinis des chiffres là soyez des difficultés logiques insurmontables avec cette construction. Le fait que quelques vrais nombres ont deux représentations, telles que l'unité étant 1.000… et 0.999…, des poses aucun problème réel. Le problème insurmontable est que la somme de deux ordres infinis des chiffres ne peut pas toujours être définie. De même le produit et la différence de deux ordres infinis n'est pas toujours défini. En outre l'inverse (réciproque) d'un ordre de non zéro d'inifinite ne peut être défini.

On peut éliminer les problèmes ci-dessus en prenant un vrai nombre pour être la limite d'un ordre infini. Ainsi la racine carrée de 2 ne devrait pas être considérée comme ordre infinie particulière des chiffres, mais à la place comme limite d'un ordre ; par exemple,

{1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213,…}
 

Mais cet ordre n'est pas le seul qui a √2 en tant que sa limite. Il y a une infinité des ordres convergents qui correspondent à √2. Le point important est que si √2 et √3 sont considérés car les ordres infinis particuliers des chiffres là n'est aucune manière de définir (√2 + √3). D'une part, il est élémentaire pour construire un ordre convergent pour (√2 + √3) des ordres convergents l'uns des pour √2 et √3.

La difficulté conceptuelle en définissant de vrais nombres en tant qu'ordres convergents est qu'il n'y a aucune entité à prendre comme limites des ordres convergents. Les vrais nombres deviennent les classes d'équivalence des ordres convergents.

La définition de la convergence d'un ordre

Laissé {a_n: n=0, 1, 2,…} soyez un ordre des nombres raisonnables. Un ordre converge si et seulement si pour n'importe quel ε>0 raisonnable il y a un nombre entier N tels que

|a_m−a_n|<ε pour tout le m,n≥N.
 

Il est essentiel de définir les classes d'équivalence des ordres convergents, mais pour maintenant cette tâche est remis à plus tard jusqu'à ce que quelques autres constructions soient présentées.

• Lemme : Un ordre convergent est lié :

  Preuve : Supposez que pour un ordre illimité {a_n} et un ε>0 là a existé un N tels que pour tout le m,n≥N |a_m−a_n|<ε. Laissez alors n=N par l'uN_boundedness de {a_n} pour n'importe quel A>0 là existe un M |a_M|>A. Choisissez alors A>|a_N|+ε et m une valeur M tels que la limite est dépassée. Ceci produit une contradiction. Ainsi un ordre illimité ne peut pas être convergent et un ordre convergent ne peut pas être illimité.

La somme de deux ordres convergents

Laissé {a_n} et {b_n} soyez deux ordres converent. Définissez {c_n} comme {a_n+b_n}. Il est nécessaire de prouver que {c_n} est convergent. Laissez le ε être tout nombre raisonnable positif.

Considérez pour n'importe quels n et m

|c_m-c_n| = |(a_m−a_n) + (b_m-b_n)|
< |a_m−a_n| + |b_m-b_n|
 

Depuis {a_m} et {b_n} sont deux le convergent là existe deux nombres entiers de N_a et N_b} tels que

|a_m−a_n|<ε/2 pour tout le m,n≥N_a
et
|b_m-b_n|<ε/2 pour tout le m,n≥N_b
 

En choisissant N=max (N_a, N_b) les conditions pour la convergence de {c_n} = {a_n+b_n} sont assurées. Ainsi {a_n+b_n} est un ordre convergent.

Si {b_n} est convergent puis ainsi est {−b_n} et ainsi la différence de deux ordres convergents est une convergente ordonnancent ; c.-à-d., {a_n−b_n} = {a_n + (−b_n}},

Le produit de deux ordres convergents

Encore laissez {a_n} et {b_n} soyez deux ordres convergents. Considérez {c_n} = {a_n*b_n}.

|c_m-c_n| = |a_m*b_m−a_n*b_n|
= |a_m*b_m−a_m*b_n + a_m*b_n − a_n*b_n|
= |a_n(b_m−b_n) + b_n(a_m−a_n)|
 

Laissez A et B être des limites dessus {a_n} et {b_n}, respectivement. Puis

|c_m-c_n| < A|b_m−b_n| + |(a_m−a_n)|B
 

En choisissant la N_b tels que |b_m−b_n|< (ε/2)/A pour tous les m,n>N_b et N_a tels que |a_m−a_n|< (ε/2)/B pour tous les m,n>N_a, et alors N=max (N_a, N_b) il est assuré cela |c_m-c_n|<ε. Ainsi le produit de deux ordres convergents est convergent.

Avant de prolonger l'analyse aux reciprocals (inverses multiplicatifs) il est nécessaire de définir ce que signifie il pour qu'un ordre soit convergent à zéro. Alors il doit établir qu'un ordre convergent non convergent à zéro est lié loin de zéro.

Ordres convergents à zéro

C'est une partie essentielle de l'analyse qu'il n'est pas nécessaire d'indiquer à ce qu'un ordre convergent converge. Si l'ordre converge à un nombre raisonnable il n'y a aucun problème au sujet de traiter des limites. Zéro est un cas spécial et important.

Un ordre {a_n} converge à zéro si pour n'importe quel ε>0 là existe un N tels que pour tout le n≥N |a_n|<ε

• Lemme : Si {b_n} est un ordre convergent qui n'est pas convergent à zéro puis là existe un B attaché tels que pour un certain nombre entier N si n≥N puis |b_n|>B.

Preuve :

L'inverse multiplicatif d'un ordre convergent

Laissé {a_n} soyez un ordre convergent qui n'est pas convergent à zéro. Là existe donc une limite inférieure sur l'importance de |a_n|. Laissez A être une limite si inférieure.

Pour {a_n} définissez un ordre réciproque {b_n} comme suit :

si a_n≠0 puis b_n = a_n^-1
si a_n=0 puis b_n=M
 

là où M est un certain grand arbitraire numérotez. Son choix n'affecte pas l'analyse parce qu'au delà d'un certain point il n'y a aucun cas de a_n=0.

Considérez

|b_m−b_n| = |1/a_m−1/a_n|
= | (a_n−a_m)/(a_m*a_n)|
< |a_n−a_m|/A ²
 

Est par conséquent N est choisi de sorte que |a_n−a_m| <εA² alors |b_m−b_n| soyez moins que le ε. Ainsi {b_n} est un ordre convergent et par conséquent n'importe quel ordre convergent non convergent à zéro aura un inverse. Ceci signifie que le quotient de deux ordres quelconques est défini si l'ordre de diviseur n'est pas converent à zéro.

Classses d'équivalence

N'importe quel convergent d'ordre à zéro est dans la classe d'équivalence de zéro, dénotée comme [0]. Deux ordres convergents sont équivalents ; c.-à-d., appartiennent à la même classe d'équivalence, est leur différence est dans la classe d'équivalence de zéro.

Après avoir défini les classes d'équivalence il est nécessaire de définir la somme, la différence, le produit et le réciproque des classes d'équivalence. Ceci est fait en utilisant des représentants des classes d'équivalence, mais il doit également montrer qu'il n'importe pas quel élément de la classe est choisi comme représentant. Ceci montre que la somme, la différence, le produit et les réciproques sont bien définis.

(Être continué.)

La définition axiomatique de vrais nombres

Cette approche aux vrais nombres emploie onze axiomes pour définir un champ commandé complet, les vrais nombres. Laissé (S, +, *, <) soyez un ensemble et deux fonctionnent, + et *, appelé addition et multiplication, respectivement, et une relation d'ordre <, qui est une fonction booléenne. Les fonctions habituellement s'appellent les opérations et sont représentées dans la notation d'infixe, mais elles ne sont rien des fonctions binaires plus que spéciales. Les huit premiers axiomes définissent un champ :

1. Closedness d'addition et de multiplication : Si a et b appartiennent à S puis ainsi fait a+b et a * B.
2. Associativité :
   Si a, b, et c appartiennent à S alors
   a + (b + c) = (a + b) + c
   a * (b C) = (a * b) C
3. Commutativité d'addition et de multiplication :
   a + b = b + a
   a * b = b * a
4. Distributivité d'addition finie de multiplication :
   Si a, b, et c appartiennent à S puis a * (b + c) = a * b + C.
5. Identités additives et multiplicatives
   Là annule deux membres de S, de 0 et de 1, tel que
   pour le tout appartenir à S, a + 0 = a
   et a * 1 = A.
6. Inverses additifs :
   Pour le chaque appartenir à S là existe un élément de S, la parole b, tel qu'a + b = 0. L'élément b est habituellement dénoté - A.
7. Inverses multiplicatifs :
   Pour le chaque appartenir à S autre que l'identité additive 0 existe là un élément de S, la parole b, tel qu'a * b = 1. L'élément b est habituellement a-1 dénoté.
8. Trichotomé :
   Si a et b appartiennent à S a < b ou b < a ou a=b.
9. Transitivité de la relation d'ordre :
   Si a < b et b < c puis a < C.
10. Isotony de la relation d'ordre :
    Si a < b puis pour tout le c appartenant à SA. + c < b +c.
    Si a < b et 0 < c puis C < b C.
11. Accomplissement :
    Si T est un sous-ensemble de S avec une limite supérieure b appartenant à S tels que pour le tout appartenir à T, a < b, existent alors là une moindre limite supérieure à T ; c.-à-d., un élément c appartenant à S tels que c est inférieur ou égal à chaque limite supérieure de T.

Les sept premières conditions peuvent être montrées pour être satisfaites pour les classes d'équivalence des ordres convergents en raison des nombres raisonnables satisfaisant ces conditions. Les relations d'ordre exigent plus d'analyse.

Relations d'ordre pour des ordres de Convergent de Cauchy

La commande pour deux ordres convergents des nombres raisonnables {a_n} et {b_n} doit être définie sans n'importe quelle référence aux limites des ordres. Il n'est pas trop difficile de faire ce.

Un ordre convergent {a_n} est plus grand qu'un ordre convergent {b_n} si là existe un interger N tels que pour tout l'n>N

a_n > b_n
 

Il est d'abord nécessaire de démontrer que les ordres convergents obéissent la loi de trichotomy ; c.-à-d. ; pour deux ordres convergents quelconques {a_n} et {b_n} l'un ou l'autre {a_n} > {b_n}, {b_n} > {a_n} ou {a_n} = {b_n}. L'égalité dans ce contexte signifie que {a_n} n'est pas plus grande que {b_n} et {b_n} n'est pas plus grand que {a_n}.

(Être continué.)