Obgleich er reizt, und allgemein getan, um reale Zahlen als endlose Reihenfolgen der Stellen dort zu definieren seien Sie unüberwindliche logische Schwierigkeiten mit diesem Aufbau. Die Tatsache, daß einige reale Zahlen zwei Darstellungen, wie Einheit haben, die 1.000… und 0.999…, Haltungen kein reales Problem ist. Das unüberwindliche Problem ist, daß die Summe von zwei endlosen Reihenfolgen der Stellen nicht immer definiert werden kann. Ebenso wird das Produkt und der Unterschied von zwei endlosen Reihenfolgen nicht immer definiert. Ausserdem kann das Gegenteil (wechselseitig) einer ungleich Nullinifinite Reihenfolge möglicherweise nicht definiert werden.

Die oben genannten Probleme können durch das Nehmen einer realen Zahl beseitigt werden, um die Begrenzung auf eine endlose Reihenfolge zu sein. So sollte die Quadratwurzel von 2 nicht für eine bestimmte endlose Reihenfolge der Stellen, aber anstatt als die Begrenzung auf eine Reihenfolge gehalten werden; z.B.

{1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, ...}
 

Aber diese Reihenfolge ist nicht das einzige, das √2 als seine Begrenzung hat. Es gibt eine Unendlichkeit der konvergenten Reihenfolgen, die √2 entsprechen. Der wichtige Punkt ist daß, wenn √2 und √3 an gedacht werden, da bestimmte endlose Reihenfolgen der Stellen dort keine Weise ist zu definieren (√2 + √3). Einerseits ist er grundlegend, eine konvergente Reihenfolge für (√2 + √3) von irgendwelchen der konvergenten Reihenfolgen für √2 und √3 zu konstruieren.

Die Begriffsschwierigkeit, wenn sie reale Zahlen als konvergente Reihenfolgen definiert, ist, daß es keine als gibt die Begrenzungen auf konvergente Reihenfolgen genommen zu werden Wesen. Es gibt nichts dort, die Begrenzung auf die Reihenfolge zu sein. Als Gertrude Stein, der, „es gesagt wird, gibt kein dort, dort.“ Reale Zahlen müssen äquivalenzkategorien der konvergenten Reihenfolgen sein.

Die Definition der Konvergenz einer Reihenfolge

Gelassen {a_n: n=0, 1, 2,…} seien Sie eine Reihenfolge der rationalen Zahlen. Eine Reihenfolge läuft wenn zusammen und nur wenn für irgendein rationales ε>0 es eine Ganzzahl N so daß gibt

|a_m-a_n|<ε für alles m,n≥N.
 

Es ist wesentlich, äquivalenzkategorien der konvergenten Reihenfolgen zu definieren, aber für jetzt diese Aufgabe wird hinausgeschoben, bis etwas andere Aufbauten eingeführt sind.

• Lemma: Eine konvergente Reihenfolge wird gesprungen:

  Beweis: Nehmen Sie an, daß für eine uN_begrenzte Reihenfolge {a_n} und ein ε>0 ein N so daß für alles m, n≥N bestanden |a_m−a_n|<ε. Lassen Sie dann n=N durch das uN_boundedness von {a_n} für jedes mögliches A>0 dort besteht ein M |a_M|>A. Wählen Sie dann A>|a_n|+ε und m ein Wert M so, daß die Grenze überstiegen wird. Dieses produziert einen Widerspruch. So kann eine uN_begrenzte Reihenfolge nicht konvergent sein und eine konvergente Reihenfolge kann nicht uN_begrenzt sein.

Die Summe von zwei konvergenten Reihenfolgen

Gelassen {a_n} und {b_n} seien Sie zwei converent Reihenfolgen. Definieren Sie {c_n} wie {a_n+b_n}. Es ist notwendig, zu zeigen, daß {c_n} konvergent ist. Lassen Sie ε jede positive rationale Zahl sein.

Betrachten Sie für irgendein n und m

|c_m-c_n| = |(a_m-a_n) + (b_m-b_n)|
< |a_m-a_n| + |b_m-b_n|
 

Seit {a_n} und {b_n} beider sind Näherungswert dort besteht zwei Ganzzahlen N_a und N_b} so daß

|a_m-a_n|<ε/2 für alles m,n≥N_a
und
|b_m-b_n|<ε/2 für alles m,n≥N_b
 

Indem man N=max (N_a, N_b) die Bedingungen für Konvergenz von {c_n} = {a_n+b_n} werden versichert wählt. So {a_n+b_n} ist eine konvergente Reihenfolge.

Wenn {b_n} dann also konvergent ist, ist {−b_n} und also ist der Unterschied von zwei konvergenten Reihenfolgen der Reihe Nach ordnen ein konvergentes; d.h. {a_n−b_n} = {a_n + (−b_n}},

Das Produkt von zwei konvergenten Reihenfolgen

Wieder lassen Sie {a_n} und {b_n} ist zwei konvergente Reihenfolgen. Betrachten Sie {c_n} = {a_n*b_n}.

|c_m-c_n| = |a_m*b_m−a_n*b_n|
= |a_m*b_m−a_m*b_n + a_m*b_n − a_n*b_n|
= |a_m(b_m−b_n) + (a_m−a_n)b_n|
 

Lassen Sie A und B Grenzen sein an {a_n} und {b_n}, beziehungsweise. Dann

|c_m-c_n| < A|b_m−b_n| + |(a_m−a_n)|B
 

Durch das Wählen von von N_b so daß |b_m−b_n|< (ε/2)/A für alles m, n>N_b und N_a so daß |a_m−a_n|< (ε/2)/B für alles m, n>N_a und dann N=max (N_a, N_b) wird ihm das versichert |_m−c_n|<ε. So ist das Produkt von zwei konvergenten Reihenfolgen konvergent.

Bevor man die analyze auf reciprocals (multiplikative Gegenteile) es ist notwendig, um zu definieren verlängert, was es bedeutet, damit eine Reihenfolge bis null konvergent ist. Dann muß es hergestellt werden, daß eine konvergente Reihenfolge, die bis null nicht konvergent ist, weg von null gesprungen wird.

Reihenfolgen konvergent bis null
 

Es ist ein wesentliches Teil der analyze, daß es nicht ist notwendig, zu spezifizieren, was eine konvergente Reihenfolge zu zusammenläuft. Wenn die Reihenfolge zu einer rationalen Zahl zusammenläuft, gibt es kein Problem über das Beschäftigen Begrenzungen. Null ist ein spezieller und wichtiger Fall.

Eine Reihenfolge {a_n} läuft bis null zusammen, wenn für irgendein ε>0 ein N so daß für alles n≥N besteht ||<ε

• Lemma: Wenn {b_n} ist, besteht eine konvergente Reihenfolge, die nicht bis null dann dort konvergent ist, ein verklemmtes B so daß für irgendeine Ganzzahl N wenn n≥N dann |b_n|>B.

Beweis:

Das multiplikative Gegenteil einer konvergenten Reihenfolge

Gelassen {a_n} seien Sie eine konvergente Reihenfolge, die nicht bis null konvergent ist. Besteht folglich eine unterere Schranke auf der Größe von ||. Lassen Sie A solch eine unterere Schranke sein.

Für {a_n} definieren Sie eine wechselseitige Reihenfolge {b_n} wie folgt:

if a_n≠0 then b_n = a_n^-1
if a_n=0 then b_n=M
 

wo M irgendein willkürliches großes ist, numerieren Sie. Seine Wahl beeinflußt nicht die analyze, weil über etwas Punkt hinaus es keine Fälle von an=0 gibt.

Betrachten Sie

|b_m−b_n| = |1/a_m−1/a_n|
= |(a_n−a_m)/(a_ma_n)|
< |a_n−a_m|/A²
 

Ist folglich N wird gewählt damit |a_n−a_m|<εA ² dann |b_m−b_n| seien Sie kleiner als ε. So {b_n} ist eine konvergente Reihenfolge und folglich jede konvergente Reihenfolge, die bis null nicht konvergent ist, wird ein Gegenteil haben. Dies heißt, daß der Quotient aller möglicher zwei Reihenfolgen definiert wird, wenn die Divisorreihenfolge nicht bis null converent ist.

ÄquivalenzClassses

Irgendein Reihenfolge Näherungswert bis null ist in der äquivalenzkategorie von null, bezeichnet wie [0]. Zwei konvergente Reihenfolgen sind gleichwertig; d.h. der gleichen äquivalenzkategorie, ist gehören ihr Unterschied ist in der äquivalenzkategorie von null.

Nachdem man äquivalenzkategorien definiert hat, ist es notwendig, die Summe, den Unterschied, das Produkt und das wechselseitige der äquivalenzkategorien zu definieren. Dieses wird mit Repräsentanten von den äquivalenzkategorien getan, aber es muß auch gezeigt werden, daß es nicht ausmacht, welches Element der Kategorie als Repräsentant gewählt wird. Dieses stellt dar, daß die Summe, der Unterschied, das Produkt und die wechselseitigen gut definiert sind.

(Fortgefahren werden.)

Die axiomatische Definition der realen Zahlen

Diese Annäherung an die realen Zahlen verwendet elf Axiome, um ein komplettes bestelltes Feld, die realen Zahlen zu definieren. Gelassen (S, +, *, <) seien Sie ein Satz und zwei arbeiten, + und *, benannt Hinzufügung und Vermehrung, beziehungsweise und eine Auftrag Relation <, die eine Boolesche Funktion ist. Die Funktionen werden normalerweise Betriebe genannt und dargestellt im Infixschreibweise, aber sie sind nichts mehr als spezielle binäre Funktionen. Die ersten acht Axiome definieren ein Feld:

1. Closedness von Hinzufügung und von Vermehrung: Wenn a und b S dann also gehören, tut a+b und a*B.
2. Associativität:
   Wenn a, b und c S dann gehören
   a + (b + c) = (a + b) + c
   a*(b*c) = (a*b)*c
3. Commutativität von Hinzufügung und von Vermehrung:
   a + b = b + a
   a*b = b*a
4. Distributivität von Vermehrung-überhinzufügung:
   Wenn a, b und c S dann a gehören*(b + c) = a*b + a*C.
5. Additive und multiplikative Identitäten
   Nimmt zwei Mitglieder S, 0 und 1, so daß heraus
   für alles ein Gehören S, a + 0 = a
   und a*1 = A.
6. Additive Gegenteile:
   Für jedes besteht ein Gehören S dort ein Element von S, Sagen b, so daß a + b = 0. Das Element b wird normalerweise - A. bezeichnet.
7. Multiplikative Gegenteile:
   Für jedes besteht ein Gehören S anders als die additive Identität 0 dort ein Element von S, Sagen b, so daß a*b = 1. Das Element b ist normalerweise bezeichnetes a-1.
8. Trichotomy:
   Wenn a und b S entweder a < b oder b < a oder a=b. gehören.
9. Transitivität der Auftrag Relation:
   Wenn a < b und b < c dann a < C.
10. Isotony der Auftrag Relation:
    Wenn a < b dann für alles c, das S.A. + c < b +c. gehört.
    Wenn a < b und 0 < c dann a*c < b*C.
11. Beendigung:
    Wenn T eine Teilmenge von S mit einem oberen Limit ist b, das S so gehört, daß für alles ein Gehören T, a < b, dann dort ein weniges oberes Limit zu T bestehen; d.h. ein Element c, das S so gehört, daß c kleiner als oder Gleichgestelltes zu jedem oberen Limit von T. ist.

Die ersten sieben Bedingungen können gezeigt werden, für die äquivalenzkategorien der konvergenten Reihenfolgen resultierend aus den rationalen Zahlen erfüllt zu werden, die jene Bedingungen erfüllen. Auftrag Relationen erfordern mehr analyze.

Auftrag Relationen für Cauchy Näherungswert-Reihenfolgen

Auftrag für zwei konvergente Reihenfolgen der rationalen Zahlen {a_n} und {b_n} muß ohne irgendeinen Hinweis auf den Begrenzungen auf die Reihenfolgen definiert werden. Dieses ist nicht zu hart zu tun.

Eine konvergente Reihenfolge {a_n} ist grösser als eine konvergente Reihenfolge {b_n} wenn ein interger N so daß für alles n>N besteht

a_n > b_n
 

Es ist zuerst notwendig, zu zeigen, daß konvergente Reihenfolgen das Trichotomygesetz befolgen; d.h.; für irgendwelche zwei konvergenten Reihenfolgen {a_n} und {b_n} irgendeine {a_n} > {b_n}, {b_n} > {a_n} oder {a_n} = {b_n}. Gleichheit in diesem Kontext bedeutet, daß {a_n} nicht grösser als ist {b_n} und {b_n} ist nicht grösser als {a_n}. In diesem Form Trichotomy gegeben eine logische Anforderung an.

Transitivität ist sehr einfach zu prüfen. Wenn {a_n} > {a_n} dann ein N₁ so daß für alles n≥N₁ > b_n besteht. Ebenso gibt es ein N₂ so daß für alle n ≥ N₂ b_n > c_n. So für alles n ≥ N=max (N₁, N₂) > c_n.

Isotony ist ähnlich einfach zu prüfen. Wenn {a_n} > {a_n} dann ein N so daß für alles n≥N > b_n besteht. Die Verschiedenheit hält zutreffend außerdem für

a_n + c_n > b_n + c_n
 

Das Bestehen des notwendigen N wird und folglich garantiert

{a_n + c_n} > {b_n + c_n}
 

Für eine konvergente Reihenfolge {c_n} > {0} es ist daß für irgendein M alles c_n > 0 für alles n≥M nur notwendig, wenn für {a_n} > {b_n} N₁ die Zahl so ist, daß für alles a_n>b_n n≥N₁, dann, indem man N=max (N₁, M) es wird garantiert daß für alles n≥N wählt

a_nc_n > b_nc_n
und thus
{a_nc_n} > {b_nc_n}
 

(Fortgefahren werden.)