Nella geometria analitica ci è un risultato interessante ed utile che è denominato il teorema della busta. Un'applicazione speciale di quel teorema si presenta nell'economia come conseguenza di ottimizzazione. Il teorema dalla geometria analitica deve essere coperto in primo luogo.

Una curva nello spazio bidimensionale è rappresentata il più bene dalle equazioni parametriche; cioè, x (t), y (t). Per esempio, le equazioni parametriche per un cerchio del raggio r concentrato all'origine sono:

x (t) = r*cos(t), y(t) = r*sin(t)
 

Questo cerchio può anche essere rappresentato dall'equazione:

x² + y² = r²
 

Questa rappresentazione posteriore è della forma la f (x, y) = 0.

Una famiglia delle curve può essere rappresentata nella forma:

g (s, y, c) = 0
 

dove la c è un parametro. Ci possono essere famiglie delle curve che coinvolgono più di un parametro. Il teorema della busta coinvolge le famiglie di un-parametro delle curve.

La busta di una famiglia delle curve il g (x, y, c) = 0 è una curva P tali che ad ogni punto della P, l'ad esempio (x, y), là è un certo membro della famiglia che tocca tangenzialmente la P. Cioè per ogni punto della P, (x0, y0), ci è un valore della c, l'ad esempio c0, tali che

g (x₀, y₀, c₀) = 0
 

Poiché ad ogni punto della curva P della busta ci è un valore corrispondente del parametro c, la curva della busta può essere rappresentata parametricamente come (x (c), y (c)).

Dall'equazione che definisce la famiglia delle curve, il g (x, y, c) = 0, è allineare per tutti i valori della c in una certa gamma, che l'equazione può essere differenziata riguardo al C. Il risultato è:

(∂g/∂x) (∂x/∂c) + (∂g/∂y) (∂y/∂c) + (∂g/∂c) = 0
 

Per tutta la curva particolare della famiglia il parametro c è costante. Differenziare il g (x, y, c) = 0 riguardo alla x con la c ha tenuto il costante dà:

(∂g/∂x) + (∂g/∂y) (∂y/∂x) = 0
 

Dall'equazione parametrica per la busta, (x (c), y (c)), segue quella

(∂y/∂x) = (∂y/∂c/(∂x/∂c))
 

Sul punto di tangenza la curva della busta e la curva corrispondente della famiglia hanno lo stesso pendio. Ciò significa quella

(∂y/∂x) = (∂y/∂c/(∂x/∂c))

e
(∂g/∂x) + (∂g/∂y) (∂y/∂x) = 0

implichi
(∂g/∂x) (∂x/∂c) + (∂g/∂y) (∂y/∂c) = 0
 

Quando questa equazione è paragonata all'equazione ottenuta differenziando l'equazione per le famiglie delle curve riguardo alla c; cioè,

(∂g/∂x) (∂x/∂c) + (∂g/∂y) (∂y/∂c) + (∂g/∂c) = 0
 

l'implicazione è quella:

(∂g/∂c) = 0
 

Così il senso trovare la busta di una famiglia delle curve è risolvere le due equazioni:

g (x, y, c) = 0

e

(∂g/∂c) = 0
 

per la x e y come funzioni del C.

Esempi

Consideri la famiglia dei cerchi del raggio 1 di cui i centri sono sul x-axis

(x-c) ² + y² - 1 = 0

Differenziare questa equazione riguardo alla c e regolare il risultato uguale a 0 danno:

2 (x-c) = 0
 

Questa ultima equazione implica x=c. che sostituisce questo risultato nell'equazione per la famiglia dei cerchi dà y² - 1 = 0 o y = ±1. Questa è chiaramente l'equazione per le due curve della busta per la famiglia.

Consideri la famiglia dei cerchi dati vicino

(x-6c)² + y² - 16c² = 0
 

Ciò è una famiglia dei cerchi concentrati sul x-axis tali che come i movimenti concenti via dall'origine il raggio ottenga più grandi nel rapporto del raggio che è due terzi di distanza dall'origine.

Differeniation dell'equazione per la famiglia dalla c dà:

- 12 (x-6c) + 32c = 0

quale implica il quel x = 104c/12 = 26c/3

quindi che (64/9) c² + y² - 16c² = 0

o y = ± (80^1/2/3) c
 

L'equazione per la x in termini di c può essere risolta per la c; cioè, c = 3x/26. Questo risultato una volta sostituito nell'equazione parametrica per y dà y in termini di X. le buste per la famiglia dei cerchi sono così che y = ± (80^1/2/26) x = ± (20^1/2/13) x, due linee rette con l'origine con il pendio di ± (20^1/2/13).

Il teorema della busta di Viner-Wong

Nell'economia una potrebbe avere una famiglia delle funzioni di costo che danno il costo di produzione di una pianta in funzione di uscita con il livello di input capitale come il parametro per la famiglia. Ogni uno di questi sarebbe denominato una funzione di costo a breve scadenza perché il livello di capitale è giudicato fisso. La funzione di costo relativa è la funzione di costo di lunga durata che ad ogni livello di uscita sceglie il livello di capitale che minimizza il costo. Il primo termine di ordine per così costo minimo è che il derivato di costo riguardo a capitale è uguale a zero. Ciò è un caso della circostanza che è stata trovata sopra per la busta di una famiglia delle curve. Così la funzione di costo di lunga durata è la busta della famiglia delle funzioni di costo a breve scadenza.

Per un'illustrazione del suddetto consideri un prodotto con una funzione di produzione di

Q = AL^2/3K^1/3.
 

Se K allora è dato la quantità di lavoro, L, richiesta per realizzare i livelli differenti di Q è data vicino:

L = (Q/A)^3/2/K^1/2
 

Il costo complessivo di produzione è C = rK + wL, dove la r è il costo di capitale ed il W è il tasso di stipendio. Quando la funzione di fabbisogno di manodopera derivata sopra si sostituisce per la L nella funzione di costo il risultato è:

C = rK + W (Q/A)^3/2/K^1/2
 

Ciò può essere messa facilmente nella forma adatta per l'applicazione del teorema della busta; cioè,

f (C, Q, K) = C - rK - W(Q/A)^3/2/K^1/2 = 0
 

Ciò la famiglia di costo complessivo funziona con K come il parametro per la famiglia. Il termine dal teorema della busta per il valore del parametro K che corrisponde ad un punto sulla curva della busta è quei ∂f/∂K = 0; cioè,

∂f/∂K = - R+ W (1/2)(Q/A)^3/2/K^3/2 = 0
 

Ciò implica quella

K = (w/2R) ^2/3 (Q/A)
 

Quindi,

L = (Q/A) ^3/2/((w/2R) ^1/3(Q/A)^1/2)
= (w/2R)^-1/3(Q/A)
e
C = r (w/2r)^2/3(Q/A) + W(w/2r)^-1/3 (Q/A)
 

Ciò è una linea retta con l'origine con un pendio (costo complessivo medio) di

r (w/2r)^2/3 + W (w/2r)^-1/3
 

Questo esempio generalizza alla proposta che per i ritorni costanti alle funzioni di produzione della scala (omogenea del grado uno) la busta delle funzioni di costo complessivo è una linea retta con l'origine ed il pendio della linea è il costo complessivo medio, che è costante.

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