解析幾何学に封筒の定理と呼ばれる興味深く、有用な結果がある。 その定理の特別な適用は最適化の結果として経済学に起こる。 解析幾何学からの定理は最初にカバーされる必要がある。

二次元スペースのカーブはパラメーター付き同等化によって最もよく表される; すなわち、x (t)、y (t)。 例えば、起源に集中する半径rの円のためのパラメーター付き同等化は次のとおりである:

X(t) = r cos(t)
y(t) = r sin(t)
 

この円はまた同等化によって表すことができる:

x² + y² = r²
 

この後の表示は形態f (x、y) = 0である。

カーブの系列は形態で代表することができる:

g (s、y、c) = 0
 

cが変数であるところ。 1つ以上の変数を含むカーブの系列がある場合もある。 封筒の定理はカーブの1変数系列を含む。

カーブg (x、y、c)の系列の封筒は= 0 Pの各ポイントの、発言(x、y)が、そこにPに接して触れる家族のメンバーであることカーブPそのような物である。 すなわち、Pの各ポイントのために、(x0、y0)、cの価値が、発言c0、そのような物ことある

g (x0、y0、c0) = 0
 

包絡線Pの各ポイントの変数cの対応する価値があるので、包絡線はようにパラメトリックに表すことができる(x (c)、y (c))。

カーブの系列を、g (x、y、c)は定義する同等化以来同等化がc.に関して区別することができること、= 0、範囲のcのすべての価値にあてはまる。 結果は次のとおりである:

(∂g/∂x) (∂x/∂c) + (∂g/∂y) (∂y/∂c) + (∂g/∂c) = 0
 

家族のあらゆる特定のカーブのために変数はc一定している。 g (x、y、cのxに関してc)を区別することは= 0定数を与える保持した:

(∂g/∂x) + (∂g/∂y) (∂y/∂x) = 0
 

封筒のためのパラメーター付き同等化から、(x (c)、y (c))、それはそれに続く

(∂y/∂x) = (∂y/∂c/(∂x/∂c))
 

接触の時点で家族の包絡線にそして対応するカーブに同じ斜面がある。 これはそれを意味する

(∂y/∂x) = (∂y/∂c/(∂x/∂c))

そして
(∂g/∂x) + (∂g/∂y) (∂y/∂x) = 0

意味しなさい
(∂g/∂x) (∂x/∂c) + (∂g/∂y) (∂y/∂c) = 0
 

cに関してカーブの系列のための同等化の区別によってこの同等化が得られる同等化と比較される時; すなわち、

(∂g/∂x) (∂x/∂c) + (∂g/∂y) (∂y/∂c) + (∂g/∂c) = 0
 

含意はそれである:

(∂g/∂c) = 0
 

従ってカーブの系列の封筒を見つける方法は2つの同等化を解決することである:

g (x、y、c) = 0

そして

(∂g/∂c) = 0
 

c.の機能としてxそしてyのため。

例

中心がｘ軸にある半径1の円の系列を考慮しなさい

(x-c)² + y² - 1 = 0

cに関するこの同等化を区別し、結果を0と等しく置くことは与える:

2(x-c) = 0
 

この最後の同等化は円の系列の同等化にこの結果を代わりにするx=c.を与えるy2を- 1 = 0またはy = ±1意味する。 はっきりこれは家族の2つの包絡線のための同等化である。

与えられる円の系列を考慮しなさい

(x-6c) ² + y² - 16c² = 0
 

これはｘ軸に集中する円の系列起源からの中心の移が起源から半径間隔3分の2のの半径の比率でより大きくなるそのような物ことである。

cによる家族のための同等化の微分は与える:

- 12 (x-6c) + 32c = 0

そのx = 104c/12 = 26c/3意味するかどれが

それ故に(64/9) c² + y² - 16c² = 0

またはy = ± (80^1/2/3) c
 

cによるxのための同等化はcのために解決することができる; すなわち、c = 3x/26。 yのパラメーター付き同等化に代わりにされたときこの結果はx.によって± (201^/2/13)の斜面との起源によってyを円の系列のための封筒がy = ± (801^/2/26) x = ± (201^/2/13) xこうしてある、2本の直線与える。

Viner-Wongの封筒の定理

経済学で1つに家族のための変数として重要な入力のレベルが付いている出力の機能として植物の生産費を与える費用関数の系列がいることができる。 これらの各自は首都のレベルが固定握られるので短期間の費用関数と呼ばれる。 関連した費用関数は出力の各レベルで費用を最小にする首都のレベルを選ぶ長期間の費用関数である。 非常に最低の費用のための最初の順序の条件は首都に関する費用の派生物がゼロと等しいことである。 これはカーブの系列の封筒のために上で見つけられた条件の例である。 そう長期間の費用関数は不足分の操業費用関数の系列の封筒である。

上記の実例のために生産関数のプロダクトをの考慮しなさい

Q = AL^2/3K^1/3。
 

Kが与えられれば労働の量は、Qの異なったレベルを達成するために必要なL下記によって与えられる:

L = (Q/A) ^3/2/K ^1/2
 

総生産費はrが資本コストであり、wが賃金率であるところに、C = rK + WLある。 上で得られる労働条件機能が費用関数のLの代わりになるとき結果は次のとおりである:

C = rK + w (Q/A) ^3/2/K ^1/2
 

これは封筒の定理の適用のために適切な形態に容易に入れることができる; すなわち、

f (C、Q、K) = C - rK - w (Q/A) ^3/2/K ^1/2 = 0
 

これは家族のための変数としてKと総額の系列作用する。 包絡線のポイントに対応する変数Kの価値のための封筒の定理からの条件はその∂f/∂K = 0である; すなわち、

∂f/∂K = - r+ w (1/2) (Q/A) ^3/2/K^3/2 = 0
 

これはそれを意味する

K = (w/2r) ^2/3 (Q/A)
 

従って、

L = (Q/A) ^3/2/((w/2r) ^1/3 (Q/A) ^1/2)
= (w/2r) ^{- 1/3} (Q/A)
そして
C = r (w/2r) ^2/3 (Q/A) + w (w/2r) ^{- 1/3} (Q/A)
 

これは斜面(平均総額)との起源によって直線のである

r (w/2r) ^2/3 + w (w/2r) ^{- 1/3}
 

この例は(程度1の同質な)生産関数一定した規模の経済のための総額機能の封筒が起源によって直線であり、ラインの斜面によってが一定している、平均総額である提案に一般化する。

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