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Das Konzept einer Fuzzy-Logik ist eine, daß es sehr einfach für das falsch unterrichtete ist, zu entlassen, wie trivial und/oder bedeutungslos. Es verweist nicht auf eine Flockigkeit von Logik aber anstatt auf eine Logik von Flockigkeit oder spezifischer auf die Logik der Fuzzy Seten. Die, daß überprüftes Lotfi A. Zadehs Konzept es genauer fand, um für das Beschäftigen realistische Phänomene nützlich zu sein. Von einem ausschließlich mathematischen Gesichtspunkt ist das Konzept einer Fuzzy Set eine leuchtende Verallgemeinerung des klassischen Begriffes eines Satzes. Jetzt ist das Konzept einer Fuzzy Set als wichtiges und praktisches Konstruieren für das Modellieren gut eingerichtet. Außerdem stellen Formulierungmarken man Zadehs fest, wie die klassische schwarz-weiße Formulierung von Aristotelian Logik künstlich ist (ist A oder ist Not-A). In einer Welt der Farbtöne des Graus bezieht eine schwarz-weiße Dichotomie eine nicht notwendige Willkür, eine Künstlichkeit mit ein, die nach dieser Welt auferlegt wird.
Der Zweck des Materials hier ist, die mathematische Struktur des Konzeptes der Fuzzy Seten darzustellen. Diese Verallgemeinerung wird über das Konzept der charakteristischen Funktion für einen Satz erzielt.
One-way des Definierens eines Satzes A ist in seinem charakteristischen Funktion μA(x) ausgedrückt. Ein Punkt x gehört Satz A wenn und nur wenn μA(x)=1. Eine charakteristische Funktion ist eine Funktion von irgendeinem Universalsatz U zum binären Satz {0.1}.
Die Satzbetriebe des Anschlußes, des Durchschnitts und der Komplementierung werden in charakteristischen Funktionen ausgedrückt wie folgt definiert.
Das andere Mengenlehrekonstruieren, das wesentlich sind, ist:
Wie über einer charakteristischen Funktion ist ein Diagramm vom Universalsatz U zum Satz {0.1} angezeigt. Eine Fuzzy Set wird in einer Mitgliedschaft Funktion ausgedrückt definiert, die ein Diagramm vom Universalsatz U zum Abstand [0.1] ist. Eine charakteristische Funktion ist ein spezieller Fall von einer Mitgliedschaft Funktion und ein regelmäßiger Satz (alias ein klarer Satz) ist ein spezieller Fall von einer Fuzzy Set. So ist das Konzept einer Fuzzy Set eine natürliche Verallgemeinerung des Konzeptes der Standardmengenlehre.
Es bleibt nachgewiesen zu werden ob die Standardbetriebe der Standardmengenlehre; d.h. Anschluß, Durchschnitt und Komplementierung, haben korrekte Entsprechungen in der Fuzzy Set Theorie.
Eine Mitgliedschaft Funktion ist eine Funktion von einem Universalsatz U zum Abstand [0.1]. Eine Fuzzy Set A wird durch sein Mitgliedschaft Funktion φA über U. definiert.
Dem Betrieb des Anschlußes, dem Durchschnitt und der Komplementierung werden genau die selben definiert, die sie für Standardsätze in der charakteristischen Funktion ausgedrückt sind; d.h.;
Stellen Sie Einbeziehung ein und stellen Sie Gleichheit haben eine natürliche Definition für Fuzzy Seten ein; d.h.
Selbstverständlich können alle mögliche Definitionen posited; die Frage ist ob die entsprechenden Theoreme, die im Standardmengenlehreeinfluß in der Fuzzy Set Theorie halten. Mit den oben genannten Definitionen übertragen die meisten Standardmengenlehretheoreme in Fuzzy Set Theorie.
Einige der wichtigeren grundlegenden Theoreme der Standardmengenlehre sind:
In der Analyse folgend lassen Sie φA, φB und φC ist die Mitgliedschaft Funktionen für die Fuzzy Seten A, B und C beziehungsweise. Ausserdem für irgendein Element des Universalsatzes p,
x = φA(p),
y = φB(p)
und
z = φC(p).
Das associativity und das commutativity des Fuzzy Set Anschlußes und des Durchschnitts folgen von der Definition und das associativity und das commutativity der maximalen und minimalen Funktionen; d.h.
max(x,max(y,z)) = max(max(x,y),z)
min(x,min(y,z)) = min(min(x,y),z)
Die distributivity Eigenschaften folgen auch von den Eigenschaften der Maximum- und Minimumfunktionen, aber der Beweis ist ein wenig länger.
Die rechte Seite der ersten distributivity Relation ist (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) deren für Fuzzy Seten Auswertung W = Maximum miteinbezieht (minimum (x, y), minimum (x, z)). Wenn x weniger entweder y oder z dann W = X. ist, wenn x zwischen y<z dann auch w=x. ist, wenn x grösser als entweder y oder z dann W = Maximum (y, z) ist. So W = minimum (x, Maximum (y, z). Dieser Ausdruck ist mit A ∩ gleichwertig (B ∪ C).
Die rechte Seite der zweiten distributivity Relation ist (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) deren Auswertung W = minimum erfordert (Maximum (x, y), Maximum (x, z)). Wie im Falle der vorhergehenden distributivity Relation können die verschiedenen Fälle ausgewertet werden. Wenn x grösser als ist, entweder y oder z dann w=x., wenn x zwischen y und z für y<z dann W = minimum (x, z) = X. ist, wenn x kleiner als entweder y oder z dann W = minimum (y, z) ist. So W = Maximum (x, minimum (y, z)) oder im Satz benennt A ∪ (B ∩ C).
Das reflexity der Komplementierung wird leicht hergestellt.
1 - (1 - x) = x
Die leere Menge für Fäserchensätze ist die Fuzzy Set Φ, für die die Mitgliedschaft Funktion für alle Elemente null ist.
Unter sind Beispiele von zwei Fuzzy Seten. Ihnen werden die Grundlage des Abstandes eines Punktes von einer Mitte konstruiert. Wenn der Abstand kleiner als ist, ist ein bestimmtes Minimum der Punkt definitiv im Satz; d.h. entspricht die Satzmitgliedschaft Funktion 1.0. Wenn der Abstand grösser als ist, ist ein bestimmtes Maximum der Punkt definitiv nicht im Satz; d.h. entspricht die Satzmitgliedschaft Funktion 0.0. Wenn der Abstand zwischen dem Minimum ist und Maximum die Satzmitgliedschaft Funktion eine lineare Funktion des Abstandes über dem Minimum ist, wie gezeigt unten.
In den Anzeigen unterhalb der Helligkeit der Farbe stellt den Wert der Satzmitgliedschaft Funktion dar. So stellt Schwarzes die Punkte nicht im Satz dar.
Der Anschluß dieser zwei Sätze wird unten mit der Farbe der Punkte im Anschluß gezeigt, der Sein violett eingestellt wird.
Der Durchschnitt der zwei Sätze ist:
Nun da der Durchschnitt von zwei Fuzzy Seten angezeigt worden ist, ist es möglich, eine sichtlich interessantere Anzeige des Anschlußes von zwei Sätzen darzustellen. In dieser Anzeige werden die Punkte, die in beiden Sätzen sind, wieder im Veilchen angezeigt.
Die Ergänzung des ersten Satzes oben (der im Rot) wird unten gegeben.
Und der Durchschnitt des ersten Satzes und seiner Ergänzung ist nicht leer, wie unten gezeigt wird.
Ein anderer Unterschied zwischen Fuzzy Set Theorie und regelmäßiger Mengenlehre betrifft den Anschluß eines Satzes mit seiner Ergänzung. In der regelmäßigen Mengenlehre gibt der Anschluß eines Satzes mit seiner Ergänzung den Universalsatz. Dieses ist nicht der Kasten für eine Fuzzy Set, wie unten gezeigt wird:
Wenn der Anschluß der ersten Fuzzy Set mit seiner Ergänzung der Universalsatz dann waren, würde das Viereck oben gleichmäßig helles Rot sein.
Ironisch ist Lotfi Zadeh ein gutes Beispiel der Fuzzy Set Mitgliedschaft. Die Frage von Ethnicity Zadehs ist schwierig, scharf zu antworten. Sein Vater war (aserbaidschanisch) Türkisch-Iranisch und seine Mutter war russisch. Sein Vater war ein Journalist, der in Baku, Azerbaijan in der Sowjetunion arbeitet. Er diente als Korrespondent für iranische Zeitungen, beim Behandeln Handel exportieren-importieren Sie. Seine Mutter war ein Kinderarzt. Lotfi wurde in Baku 1921 getragen und gelebt dort, bis seine Familie auf Tehran 1931 bewog.
Sogar ist Name Lotfis jetzt abhängig von einem Grad Ungewißheit. Die korrekte Rechtschreibung ist Lotfi, aber es gibt zahlreiche Fälle des F und der T, die zu LOFTI aufgehoben wird, das in den Büchern über Fuzzy-Logik gleichmäßig ist. Eine google Suche nach „lotfi zadeh“ holt oben 144.000 Fälle, aber eine Suche nach „lofti zadeh“ holt oben 17.000. Jedoch es gab nur 318, die beide Rechtschreibungen hatten.
Ausbildung Lotfis begann mit seinen frühen Jahren in der Sowjetunion. Dort zeugte er in den Schulen den messianischen Eifer der zutreffenden Gläubiger im Kommunismus. Bis zum 1931 jedermann mit jeder möglicher Richtung, die hinausgehen könnte, verließ eine Sowjetunion. Als seine Eltern die Familie auf Tehran verschoben, setzten sie ihn in eine amerikanische presbyterianische Missionarsschule ein. Er war folglich abhängig von den Russe-, amerikanischen und iranischenkulturellen Einflüssen mit ihren angeschlossenen frommen Eifern. Er nicht leicht paßt in irgendein Klassifizierungssystem. Eine Sache jedoch, die von Lotfi Zadeh besagt sein kann; er hat einen leuchtenden, vielseitigen begabt Verstand.
Er führte seinen Grad in der Elektrotechnik 1942 durch. Politische Bedingungen waren im Tumult in der Welt im allgemeinen und im Iran insbesondere. 1943 entschied Lotfi, nach Amerika auszuwandern. Gegen die Vorteile war er in der Lage, dieses Ziel trotz der Kriegzustände zu erzielen. In Amerika entschied er, im Massachusetts Institute of Technology (MIT) für einen Vorlagengrad in der Elektrotechnik einzuschreiben. Dieses, das er 1946 durchführte. Er sofortig stieg in ein Doktorprogramm an der Kolumbien Universität in New York ein und führte sie 1949 durch. Er wurde ein behilflicher Professor bei Kolumbien nach seiner Staffelung. Bis zum 1957 war er ein voller Professor bei Kolumbien. 1958 empfing er ein Angebot von der Universität von Kalifornien bei Berkeley, um seine Abteilung der Elektrotechnik zu verbinden. Er nahm das Angebot an und zog auf Berkeley 1958 um. Bis zum 1963 war er Vorsitzender seiner Abteilung.
Es war 1964, daß er seine Verallgemeinerung des Konzeptes eines Satzes formulierte. Er arbeitete seine Ideen beim Besichtigen von von New York aus, in dem seine Eltern lebten. Es gab nicht nichts, das über seine Formulierung flockig ist; es war exakte, rigorose Mathematik. Die Namensfuzzy-logik war eine interessante und passende Weise, sein Konzept zu beschreiben aber war vermutlich zu seiner Annahme schädlich. Irgendein Name wie Kontinuumlogik würde die Konnotationen der Ungenauigkeit vermieden haben, aber der Name ist ein Teil der Kultur jetzt und nichts kann über es erfolgt werden.
Es ist angebracht, hier zu unterstreichen, daß schlecht definierte Grenzen zwischen Sätze erfordert keine Verallgemeinerung des klassischen Begriffes eines Satzes zerlegen. Betrachten Sie Sätze Punkte in einem topologischen Raum. Ein Punkt auf der Grenze zwischen zwei Sätzen wird als Punkt so definiert, daß jede mögliche Nachbarschaft dieses Punktes Elemente beider Sätze enthält. Die meisten Beispiele solcher räumlicher Sätze haben crip Grenzen. Z.B. denn Sätze in einem zweidimensionalen Raum ist die Grenze zwischen einem Satz und seinem Ergänzung Satz eine eindimensionale Kurve. Aber dieses ist ein spezieller Fall gerecht. Es ist einfach, zweidimensionale Sätze zu definieren so, daß die Grenze eine zweidimensionale Region anstatt eine eindimensionale Kurve ist. Ein Aufbau dieser Natur wird unten bildlich dargestellt. An jedem Stadium sind der mittlere Third der Verlängerungen im anderen Satz eingeschlossen. Der Prozeß muß selbstverständlich endlos fortfahren. Wie die ersten vier Stadien werden unten gezeigt zusammen mit, was das entscheidende Stadium aussehen würde.
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Für den völlig konstruierten Satz ist irgendein Punkt im mittleren Vertikale Third des Kastens ein Grenzpunkt der roten und cyan-blauen Sätze. So ist die Grenze zwischen den zwei Sätzen eine nicht Linie aber anstatt ein Viereck.
, daß Standardsätze flockige Grenzsätze haben können, sie ist- hergestellt zu haben jetzt möglich, gesetzte Mitgliedschaft als durchschnittliche Mitgliedschaft über einem minimalen Fenster einer bestimmten Größe zu deuten. Das heißt, ist Beobachtung immer im Verhältnis zu einer bestimmten Skala, oder Minimumfenstergröße und was beobachtet wird, die durchschnittlichen Eigenschaften innerhalb dieses minimalen Fensters ist, das in der Fernabfragung das Pixel genannt wird.
Um diesen Punkt zu veranschaulichen betrachten Sie eins der einleitenden Stadien, sagen das Viertel, im oben genannten Aufbau eines Satzes mit einer flockigen Grenze. Betrachten Sie quadratische Fenster zentriert nach etwas Punkt, der nicht im roten Satz ist. Für relative große Fenster konnte die Satzmitgliedschaft 75 Prozent Rot sein. Da die Fenstergröße sich verringert, gibt es einen Punkt, der erreicht wird, in dem das Fenster völlig innerhalb der Zone liegt, die die Grenze des roten Satzes ist. Für diese Fenstergröße und unten für eine Strecke ist die Satzmitgliedschaft des Fensters 50 Prozent Rot. Wenn die Fenstergröße zum Punkt am meisten des Fensters schrumpft, im cyan-blauen Finger den, vorgewählten Punkt ist zu enthalten, den die Satzmitgliedschaft zu 0 Prozent Rot fallenläßt.
Im oben genannten Diagramm bezieht sich die Makroschwelle auf die Beobachtungsfenstergröße so, daß das Fenster völlig innerhalb der „Grenzzone“ liegt. Die Mikroschwelle bezieht sich die auf Fenstergröße, die völlig innerhalb der Teilmenge der „Grenzzone liegt“, die den vorgewählten Punkt enthält. Das höher das Stadium im Aufbau des Satzes mit einer flockigen Grenze, ist die Mikroschwelle bis null das genauer. So für die völlig konstruierte flockige Grenze stellen Sie die Begrenzung auf die Satzmitgliedschaft ein, wie die Fenstergröße bis null ist 50 Prozent gleichgültig, geht, ob oder nicht der Punkt, nach dem die Fenster zentriert werden, innen oder nicht im roten Satz ist. Wie angezeigt, obgleich Beobachtung nach der Skala- oder Fenstergröße abhängt, gibt es einen ausgedehnten Strecke überschuß, den Beobachtung Unabhängiges der Fenstergröße ist.
Eine andere Weise des Angebens der oben genannten Deutung ist, daß Beobachtung nie den zugrundeliegenden Satz beschäftigt, aber beschäftigt anstatt irgendein Fach des Satzes in Teilmengen; d.h. Pixel. Für Beobachtung ist gesetzte Mitgliedschaft nicht die Ausgabe; stattdessen ist die Ausgabe Verteilung der Teilmengen zu den Sätzen.
Das oben genannte Material ist eine Deutung der Angelegenheit der flockigen Grenzsätze, die die einstufen-abhängige Natur der Beobachtung hervorhebt. Dieses Bestehen einer Alternative zur Fuzzy Set Theorie schließt nicht seine Entwicklung einer rigorosen Verallgemeinerung der klassischen Standardmengenlehre aus.
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