La formule de Gauss-Bonnet pour des courbes déclare que l'intégrale de la courbure autour d'une courbe fermée dans un avion plus la somme des angles de braquage aux points faisants le coin est égale à 2π. La preuve de ce théorème dans les sources standard est pénible et impliquée. Ce qui est donné ci-dessous est une preuve merveilleusement simple qui corrige une erreur dans le rapport habituel de la formule.

La courbure est définie aux points où la courbe est lisse en termes de taux de rotation du vecteur de tangente d'unité à une courbe ; c.-à-d.,

dT/ds = κ(s)N(s)
 

là où T (s) est le vecteur de tangente d'unité en fonction du paramètre s de longueur de chemin, N (s) est le vecteur normal d'unité et le κ(s) est la courbure.

Le vecteur de tangente d'unité T (s) pour une courbe plate le plus succinctement est donné en termes de lui α(s) d'angle de direction ; c.-à-d.,

T (s) = (cos (α(s)), sin(α(s)))
 

Depuis

dT/ds = (- sin(α(s)α'(s), cos (α(s)α'(s)))
= α'(s) (- sin(α(s)), cos (α(s))
il suit cela
N (s) = (- sin(α(s)), cos (α(s)))
et
κ(s) = α'(s)
 

Un κ*() de fonction de courbure pourrait être défini comme fonction généralisée qui est le dérivé du α(s) mais ce n'est habituellement pas ce qui est fait. La chose importante est que la ligne intégrale de la courbure est égale au α(s) de fonction ; c.-à-d.,

∫₀^sκ*(z) dz
= ∫₀^sκ(z)dz + Σεi = α(s) - α (0).
 

là où {εi} est l'ensemble des angles de braquage de la courbe à ses points faisants le coin.

Si L est la valeur de fin du paramètre s de courbe alors

α(L) - α (0) = n (2π)
là où n est un nombre entier,
le nombre net de pleins tours
les marques de courbe.
 

Évidemment la forme correcte de la formule de Gauss-Bonnet pour l'intégrale de chemin de la courbure est

∫₀^Lκ(z)dz + Σεi = n(2π).
pour un certain nombre entier N.
 

Une courbe plate pourrait également jaillir soit représentée par le β(s) de fonction d'angle pour ses vecteurs de normale d'unité N (s), où le β(s) est à un à angle droit au α(s) ; c.-à-d.,

β(s) = α(s)-π/2.
 

Cette analyse en termes de normals d'unité est donnée parce que l'analyse de la courbure pour une surface doit être exprimée en termes de normals plutôt que tangentes. Il est utile de voir l'analyse pour la caisse plus simple de courbes comme préparation pour la caisse plus difficile de surfaces.

La fonction normale de vecteur d'unité est donnée en termes de β(s) comme :

N (s) = (cos (β(s), sin((β(s)))
 

Depuis vers le bas/ds = - κ(s)T(s) et

vers le bas/ds = (- sin(β'(s) (de β(s)), β'(s) de cos (β(s)))
= β'(s) (- sin((β(s)), cos (β(s))
= β'(s) (- sin((α(s)-π/2), cos (α(s)-π/2)
= β'(s) (- cos ((α(s)), - sin(α(s))
= - β'(s)T(s)
et ainsi
κ = β'(s)
 

Ainsi la ligne intégrale de la courbure a pu être exprimée As

κ(z)dz + Σεi = β(s) de ∫₀^s - β (0).
 

là où {εi} est l'ensemble des angles de braquage des normals à la courbe à ses points faisants le coin, qui sont identiques que les angles de braquage des tangentes à la courbe à ces points.

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