| De Universiteit van de Staat van San José |
|---|
|
applet-magic.com Thayer Watkins Silicon Valley & De Steeg van de Tornado De V.S. |
|---|
|
en Zijn Generalisatie |
Zegt de Gauss-Bonnet Stelling in 3D ruimte dat de integraal van de Gaussian kromming over een gesloten vlotte oppervlakte aan 2Ï€ tijden Euler kenmerkend van de oppervlakte gelijk is.
Bijvoorbeeld, heeft een gebied van straal R een constante kromming van 1/R2 zodat is de integraal van kromming over de oppervlakte van het gebied de constante kromming van 1/R2 tijden het gebied van het gebied van 4Ï€R2 dat aan 4Ï€ gelijk is. Euler kenmerkend van het gebied is 2 zodat is de integraal van de kromming van 4Ï€ 2Ï€ (2). Euler kenmerkend van een torus (doughnut) is nul zodat is de integraal van de kromming over de torus ook nul.
Een analogon van de bovengenoemde stelling voor oppervlakten ingebed in 3D ruimte houdt voor 1D krommen in 2D ruimte. De integraal van de kromming rond een vlotte kromme is gelijk aan 2Ï€; d.w.z.,
waar kg de geodetische kromming is.
Bijvoorbeeld, heeft een cirkel van straal R een constante geodetische kromming van 1/R. De lengte van de omtrek van de cirkel is 2Ï€R zodat is de integraal van kromming rond de cirkel (1/R) 2Ï€R die 2Ï€ is.
Een kromme met hoekige hoeken geeft een verschillend probleem. De kromming bij de hoek is, inderdaad, oneindig. De totale kromming rond de kromme is de integraal meer dan het vlotte deel plus de som draaiende hoeken φ op de hoekpunten. De draaiende hoek bij een hoek is π minder de binnenlandse hoek bij die hoek.
Dit wordt vaak genoemd de Gauss-Bonnet formule. Merk op dat de rechter zijde van de formule in de regeling van de Gauss-Bonnet Stelling past in die zin dat Euler kenmerkend van een vliegtuigveelhoek enkel 1 is omdat voor een veelhoek er 1 gezicht is en het aantal randen en toppen gelijk is.
Bijvoorbeeld, heeft een vierkant van zijD nul kromming op de rechte delen. De binnenlandse hoeken zijn al gelijke aan π/2 zodat is de som vier van hen 2π.
Er is een analogon van de wijziging van de Stelling voor nietvlotte krommen voor nietvlotte oppervlakten maar het vereist een complexere ontwikkeling.
Veel van de oppervlakten van belang zijn oppervlakten van revolutie die door een kromme over een as worden verkregen te roteren. Een gebied wordt geproduceerd door een halve cirkel over de as van de cirkel te roteren die de eindpunten van de halve cirkel verbindt. Een torus wordt geproduceerd door een volledige cirkel over een as te roteren die niet de cirkel snijdt. De stelling geeft hieronder een eenvoudige formule voor de integraal van kromming over een oppervlakte van revolutie. Merk op dat een oppervlakte van revolutie noodzakelijk geen gesloten oppervlakte is.
Bewijs: Zonder significant verlies van algemeenheid kan de as van omwenteling worden genomen om de x-as te zijn. De profielkromme α (t) is toen (x (t), y (t)). De oppervlakte van revolutie is (x (t), y (t) cos. (θ), y (t) zonde (θ)), waar θ de hoek van omwenteling over de x-as is.
De parameterbepaling van de profielkromme kan altijd worden gekozen dusdanig dat
(x'(t))2+y'(t))2=1 (de kromme van de eenheidssnelheid). Voor een het profielkromme van de eenheidssnelheid vermindert de formule voor de Gaussian kromming van de oppervlakte van revolutie aan
Het element van gebied van de oppervlakte van revolutie is dt (y (t) dθ). De integraal van kromming over de oppervlakte van revolutie is dan
De hoek φ dat de raaklijn aan de profielkromme met de x-as maakt wordt algemeen langs gegeven in
Aldus voor een zonde van de het profielkromme van de eenheidssnelheid (φ) =y'(t). Daarom wordt de integraal van de Gaussian kromming over een oppervlakte van revolutie langs gegeven
Als een oppervlakte van revolutie vlot moet zijn en dan gesloten of de producerende kromme gesloten is en niet de as van omwenteling kruist of het kruist het met φ (a) en φ (B) gelijk aan π/2 in omvang en van tegenovergestelde tekens. In het eerste geval is de oppervlakte van revolutie topologisch gelijkwaardig aan een torus en in het tweede geval aan een gebied. In het geval van een gesloten producerende kromme φ (a) =φ (B) en zo de totale kromming is nul. Voor een gebied of een vlotte gebied-als oppervlakte van revolutie is de totale kromming 2π (+1- (- 1))=4π.
De stelling kan worden gebruikt om het effect van nietvlotte bijzonderheden zoals kegelpunten of randen te bepalen. Overweeg de oppervlakte van revolutie die door rotatin een kromme wordt geproduceerd rond de x-as. De kromme begint als rechte lijn die een hoek van β met de x-as maakt en beëindigt met een boog van een cirkel die de x-as snijdt bij een rechte hoek.
De oppervlakte van revolutie wordt hieronder afgeschilderd.
De totale kromming voor deze oppervlakte is 2π (zonde (β) - (- 1))=2π (zonde (β+1). Als de producerende kromme als boog van een kleine cirle begon die de x-as snijdt bij een rechte hoek in plaats van een scherpe hoek toen zou de totale kromming 2π (2) zijn. Aldus is de integraal van kromming over het kegelpunt -2π (1sin (γ)) waar γ de tophoek van de kegel is.
De generalisatie van de Gauss-Bonnet Stelling aan oppervlakten met slechts kegelbijzonderheden zou zijn dat de totale kromming (die aan de integraal van de kromming van de vlotte gedeelten van de oppervlakte plus de bijdrage toe te schrijven aan de kegelpunten) gelijk is aan 2πχ gelijk is waar χ Euler characterisitic van de oppervlakte is.
waar {γi} de reeks tophoeken van de kegelpunten van de oppervlakte is.
Overweeg een oppervlakte van revolutie die als een lens is. De dwarsdoorsnede impliceert twee cirkelbogen die bij een scherpe hoek samenkomen zoals het hieronder geval is.
De oppervlakte van revolutie wordt hieronder afgeschilderd.
Zeggen de Gauss-Bonnet Stelling (en de Oppervlakte van de Stelling van de Kromming van de Revolutie) de totale kromming voor de lens aan 4π gelijk is. De integraal van kromming op de vlotte oppervlakten van de lens kan afzonderlijk worden geëvalueerd zodat kan de bijdrage van de scherpe rand als verschil worden gevonden. Aangezien de kromming op de vlotte oppervlakten een constante (1/r2) is de integraal van kromming kan worden gevonden door de krommingstijden te vermenigvuldigen het gebied. Als de boog voor een vlotte oppervlakte een hoek van ψ insluit is het gebied 2πr2 [1-cos. (ψ/2)] voor één kant en 4πr2 [1-cos. (ψ/2)] voor de twee kanten van de lens. Wanneer dit gebied wordt vermenigvuldigd met de kromming van (1/r2) het resultaat is een integraal van kromming van 4π [1-cos. (ψ/2)] op de vlotte oppervlakten. Het vergelijken van dit met de totale kromming voor de oppervlakte van revolutie van 4π toont aan dat de bijdrage van de scherpe rand 4πcos (ψ/2) is.
De omtrek van de scherpe rand is 2πrsin (ψ/2) zodat is de kromming per eenheidslengte van de rand:
waar r1 de straal van kromming van de lijn van de rand is.
Het diagram toont hieronder aan dat de hoek ψ die door de boog wordt ingesloten het zelfde als de hoek van de rand is.
De bovengenoemde vergelijking wat de bijdrage van de randlijn tot de krommingsintegraal omgekeerd aan de straal van kromming van de randlijn evenredig leveren stelt voor dat een rechte randlijn, voor die de straal van kromming oneindig is, geen bijdrage tot de krommingsintegraal zou leveren. Dit kan in feite door afzonderlijke argumenten worden gevestigd. Overweeg de oppervlakte van revolutie die eerder wordt gecreÃërd om de bijdrage van een kegelpunt te onderzoeken. Veronderstel deze oppervlakte die in de helft wordt en twee delen die door een lijn, twee vliegtuigen en deel van een cilinder worden gescheiden verdeeld en dan worden verbonden. Deze uitgebreide oppervlakte zou nog een totale kromming van 4Ï€ hebben. De vliegtuigen hebben nul kromming zodat moet de bijdrage van de rechte randlijn precies door de bijdrage van het segment van de cilinder worden gecompenseerd. Maar de Gaussian kromming van een cilinder is nul op alle punten zodat is de bijdrage van het segment van de cilinder nul en vandaar ook dat van de rechte randlijn. Een extra argument voor de bijdrage van rechte randlijnen tot de krommingsintegraal van een oppervlakte die nul komt uit een overweging van veelvlakken is. Als een veelvlak wordt verhoogd worden de lengten van de randlijnen ook verhoogd maar de krommings integrale overblijfselen constant bij 4Ï€. Aldus is de bijdrage van de randlijnen tot de krommingsintegraal nul. Tot slot is de Gaussian kromming voor een rechte randlijn nul om de zelfde reden dat de Gaussian kromming van een cilinder; d.w.z., is de Gaussian kromming het product van de krommingen in de twee belangrijkste aanwijzingen voor de oppervlakte en voor de cilinder en de rechte rand de kromming nul in één belangrijkste richting is.
Aangezien de gezichten van de veelvlakken vlak zijn en nul Gaussian kromming hebben is de volledige krommingsintegraal toe te schrijven aan de bijdrage van de toppen.
Voor een regelmatig veelvlak dat de toppen van V heeft is de krommingsintegraal van elke top dan 4π/V. Het zou aardig zijn om deze bijdrage tot de krommingsintegraal te hebben die als functie van het hoekige tekort van de top wordt uitgedrukt; d.w.z., het verschil tussen 2π en de som hoeken bij de top. Bijvoorbeeld, zijn de hoeken bij de hoek van een kubus drie hoeken van π/2 radianten elk. Aldus is het hoekige tekort voor een top van een kubus (2π-3π/2) =π/2. De bijdrage van elk van de acht toppen van een kubus aan de krommingsintegraal is 4π/8=π/2.
Voor een tetrageder bij elke top zijn er drie hoeken van π/3 zodat is het hoekige tekort π. De bijdrage van elke top van de tetrageder is 4π/4=π. Een regelmatige romboïde heeft zes toppen waarin vier gelijkzijdige driehoeken samen komen. Aldus is het hoekige tekort 2π-4π/3=2π/3. De bijdrage van elke top van de zes toppen is 4π/6=2π/3. Zo opnieuw is de bijdrage tot de krommingsintegraal van een top gelijk aan zijn hoekig tekort.
Het onderzoek van dit voorstel voor regelmatige veelvlakken gaat verder. Neem eerst van nota de binnenlandse hoek van een regelmatige veelhoek van nkanten is (π-2π: /n). Aldus voor een pentagoon zijn de binnenlandse hoeken gelijk aan 3π/5. Dodecahedron heeft drie pentagonen die samen bij elke top komen, die zo een hoekig tekort van π/5 heeft. Het aantal toppen van een dodecahedron is 20 zodat is de bijdrage van elk tot de krommingsintegraal 4π/20=π/5.
Iscosahedron heeft vijf driehoeken die samen bij elk van zijn twaalf toppen komen. Aldus is het hoekige tekort bij elke top (2Ï€-5Ï€/3) =Ï€/3. Elke top draagt 4Ï€/12=Ï€/3 tot de krommingsintegraal bij. Het voorstel houdt zo voor alle regelmatige veelvlakken.
De bijdrage van een kegelpunt van 2π (1sin (γi) kan nu als hoekig tekort worden geïnterpreteerd. Als een kegel met tophoek van γ zich volgens een producerende lijn wordt gesneden en uitrolde is de hoek die door de uitgerolde kegel wordt behandeld 2πsin (γ) zodat is het hoekige tekort 2π2πsin (γ) of 2π (1sin (γ)). Daarom is de gissing in het algemeen te bewijzen:
Het bewijs van deze gissing zou betekenen dat de generalisatie van de Gauss-Bonnet Stelling is dat de integraal van de Gaussian kromming meer dan de vlotte gedeelten van een gesloten oppervlakte plus de som hoekige tekorten van de bijzondere punten aan 2Ï€ tijden Euler kenmerkend van de oppervlakte gelijk is.
Voor de Gauss-Bonnet formule voor geodetische kromming in het 2D vliegtuig wordt de bijdrage op een hoekpunt uitgedrukt in termen van de draaiende hoek φ. De draaiende hoek is enkel het hoekige tekort op zulk een hoekpunt π-η, waar η de binnenlandse hoek bij de hoek is.
Het werd gevonden boven dat de integraal van kromming over het kegelpunt is -2π (1sin (γ)) waar γ de tophoek van de kegel is. Als γ groter is dan π/2 de oppervlakte heeft een protusive punt maar geen gekartelde eigenschap. Het effect van dergelijke gekartelde punten op de krommingsintegraal van een oppervlakte is reeds zo inbegrepen binnen de vorige analyse voor punten.
Eveneens zou een scherpe vouw, zulke deel van de oppervlakte van revolutie van voor een hieronder getoonde profielkromme uitmaken, is inbegrepen in de analyse voor het effect van een scherpe rand met de hoek die door de boog wordt ingesloten die groter dan π/2 is. Als de vouw een rechte rand het heeft is de bijdrage tot de krommingsintegraal van een oppervlakte nul, zoals het geval van een rand met een rechte rand is.
(Om zijn verdergegaan.)
|
|