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und seine Verallgemeinerung |
Das Euler, das vom Bereich charakteristisch ist, ist 2, also ist das Integral der Biegung von 4π 2π (2). Das Euler, das von einem Torus (Krapfen) charakteristisch ist ist null also das Integral der Biegung über dem Torus ist auch null.
Eine Entsprechung des oben genannten Theorems für die Oberflächen, die im Raum 3D eingebettet werden, hält für Kurven 1D im 2D Raum. Das Integral der Biegung um eine glatte Kurve ist 2π gleich; d.h.
wo Kilogramm die Geodäsiebiegung ist.
Z.B. hat ein Kreis von Radius R eine konstante Geodäsiebiegung von 1/R. Die Länge des Umfangs des Kreises ist 2πR, also ist das Integral der Biegung um den Kreis (1/R) 2πR, das 2π ist.
Eine Kurve mit eckigen Ecken stellt ein anderes Problem dar. Die Biegung an der Ecke ist in Wirklichkeit endlos. Die Gesamtbiegung um die Kurve ist das Integral über dem glatten Teil plus die Summe des Drehenwinkel φ an den Eckpunkten. Der Drehenwinkel an einer Ecke ist weniger π der Innenwinkel das an dieser Ecke.
Dieses wird häufig die Gauß-Bonnet Formel genannt. Merken, dass die rechte Seite Formelpassen in den Entwurf des Gauß-Bonnet Theorems in der das Euler, das von einem flachen Polygon charakteristisch ist, gerade 1 ist, weil für ein Polygon es 1 Gesicht gibt und die Zahl Rändern und Gipfeln gleich sind.
Z.B. hat ein Quadrat von Seite D nullbiegung auf den geraden Teilen. Alle Innenwinkel sind Gleichgestelltes zu π/2, also ist die Summe der vier von ihnen 2π.
Es gibt eine Entsprechung der Änderung des Theorems für nicht-glatte Kurven für nicht-glatte Oberflächen, aber es erfordert eine kompliziertere Entwicklung.
Viele der Oberflächen des Interesses sind die Oberflächen der Revolution erhalten, indem sie eine Kurve über eine Mittellinie drehen. Ein Bereich wird erzeugt, indem man ein Halbrund über die Mittellinie des Kreises dreht, der die Endenpunkte des Halbrundes anschließt. Ein Torus wird erzeugt, indem man einen vollen Kreis über eine Mittellinie dreht, die nicht den Kreis schneidet. Das folgende Theorem gibt eine einfache Formel für das Integral der Biegung über einer Oberfläche der Revolution. Merken, dass eine Oberfläche der Revolution nicht notwendigerweise eine geschlossene Oberfläche ist.
Beweis: Ohne bedeutenden Verlust des Allgemeinen kann Rotationsachse genommen werden, um der X-axis zu sein. Das Profilkurve α (t) ist dann (x (t), y (t)). Die Oberfläche der Revolution ist (x (t), y (t) Lattich (θ), Sünde y-(t) (θ)), wo θ der Winkel der Umdrehung über den X-axis ist.
Dem Parameterization der Profilkurve kann immer gewählt werden sodass
(x'(t))2+(y'(t))2=1 (die Maßeinheitsgeschwindigkeitskurve). Für eine Maßeinheitsgeschwindigkeits-Profilkurve verringert die Formel für die Gaußsche Biegung der Oberfläche der Revolution auf
Das Element des Bereichs der Oberfläche von Revolution ist Papierlösekorotron (y (t) dθ). Das Integral der Biegung über der Oberfläche der Revolution ist dann
Das Winkel φ, das die Tangente zur Profilkurve mit dem X-axis bildet, wird im Allgemeinen durch gegeben
So für ein Maßeinheitsgeschwindigkeitsprofilkurven-Sünde (φ) =y'(t). Folglich wird das Integral der Gaußschen Biegung über einer Oberfläche der Revolution vorbei gegeben
Wenn eine Oberfläche der Revolution, glatt zu sein ist und irgendein dann geschlossen die erzeugenkurve geschlossen ist und nicht Rotationsachse kreuzt oder, sie kreuzt es mit φ (A) und φ (B) gleich π/2 in der Größe und der gegenüberliegenden Zeichen. Im ersten Fall ist die Oberfläche der Revolution topologisch Äquivalent zu einem Torus und im zweiten Fall zu einem Bereich. Im Falle eines geschlossenen erzeugenkurve φ (a)=φ (B) und folglich die Gesamtbiegung ist null. Für einen Bereich oder ein glattes Bereich-wie Oberfläche der Revolution ist die Gesamtbiegung 2π (+1- (- 1))=4π.
Das Theorem kann verwendet werden, um den Effekt der nicht-glatten Eigenheiten wie konische Punkte oder Kanten festzustellen. Die Oberfläche der Revolution betrachten erzeugt durch rotatin eine Kurve um den X-axis. Die Kurve beginnt als gerade Gerade, die einen Winkel von β mit dem X-axis und den Enden mit einem Bogen eines Kreises bildet, der den X-axis an einem rechtwinkligen schneidet.
Die Oberfläche der Revolution wird unten bildlich dargestellt.
Die Gesamtbiegung für diese Oberfläche ist 2π (Sünde (β) - (- 1))=2π (Sünde (β+1). Wenn die erzeugenkurve, die als Bogen eines kleinen cirle schneidet den X-axis an einem rechtwinkligen anstelle von einem scharfen Winkel dann die Gesamtbiegung begonnen wurde, 2π sein würde (2). So ist das Integral der Biegung über den konischen Punkt -2π (1-sin (γ)) wo γ der Spitzenwinkel des Kegels ist.
Die Verallgemeinerung des Gauß-Bonnet Theorems zu den Oberflächen mit nur konischen Eigenheiten würde sein, dass die Gesamtbiegung (die dem Integral der Biegung der glatten Teile der Oberfläche plus den Beitrag wegen der konischen Punkte gleich ist), 2πχ gleich ist, in dem χ das Euler ist, das von der Oberfläche characterisitic ist.
wo {γi} der Satz von Spitzenwinkeln der konischen Punkte der Oberfläche ist.
Eine Oberfläche der Revolution betrachten, die wie ein Objektiv ist. Der Querschnitt bezieht zwei Kreisbogen mit ein, die in einem scharfen Winkel sich treffen, wie der Fall unten.
Die Oberfläche der Revolution wird unten bildlich dargestellt.
Das Gauß-Bonnet Theorem (und die Oberfläche des Revolutions-Biegung-Theorems) sagt, dass die Gesamtbiegung für das Objektiv 4π gleich ist. Das Integral der Biegung auf den glatten Oberflächen des Objektivs kann separat ausgewertet werden, also kann der Beitrag der scharfen Kante als der Unterschied gefunden werden. Da die Biegung auf den glatten Oberflächen eine Konstante (1/r2) ist kann das Integral der Biegung gefunden werden, indem man die Biegungzeiten der Bereich multipliziert. Wenn der Bogen für eine glatte Oberfläche einen Winkel von ψ subtends, ist der Bereich 2πr2 [1-cos (ψ/2)] für eine Seite und 4πr2 [1-cos (ψ/2)] für die zwei Seiten des Objektivs. Wenn dieser Bereich mit der Biegung von multipliziert wird (1/r2) ist das Resultat ein Integral der Biegung von 4π [1-cos (ψ/2)] auf den glatten Oberflächen. Das Vergleichen dieses mit der Gesamtbiegung für die Oberfläche der Revolution von 4π zeigt, dass der Beitrag der scharfen Kante 4πcos ist (ψ/2).
Der Umfang der scharfen Kante ist 2πrsin (ψ/2) also ist die Biegung pro Maßeinheitslänge der Kante:
wo r1 der Radius der Biegung der Linie von der Kante ist.
Das folgende Diagramm zeigt, dass das Winkel ψ durch den Bogen ist das selbe wie der Winkel der Kante subtended.
Die oben genannte Gleichung, die den Beitrag von der Kantelinie zum Biegungintegral bilden umgekehrt, das zum Radius der Biegung der Kantelinie proportional ist, schlägt vor, dass eine gerade Kantelinie, für die eins der Radius von Biegung endlos ist, keinen Beitrag zum Biegungintegral bilden würde. Dieses kann durch unterschiedliche Argumente tatsächlich hergestellt werden. Die Oberfläche der Revolution betrachten vorher verursacht, um den Beitrag eines konischen Punktes zu überprüfen. Diese Oberflächenspalte zur Hälfte und die zwei Teile sich vorstellen, die getrennt werden und dann durch eine Linie, zwei Flächen und Teil eines Zylinders angeschlossen sind. Diese ausgedehnte Oberfläche würde noch eine Gesamtbiegung von 4π haben. Die Flächen haben nullbiegung, also muss der Beitrag der geraden Kantelinie durch den Beitrag des Segments des Zylinders genau ausgeglichen werden. Aber die Gaußsche Biegung eines Zylinders ist an allen Punkten null, also ist der Beitrag des Segments des Zylinders null und folglich auch das der geraden Kantelinie. Ein zusätzliches Argument für den Beitrag der geraden Kantelinien zum Biegungintegral einer Oberfläche, die null ist, kommt von einer Betrachtung der Polyeder. Wenn ein Polyeder herauf die Längen der Kantelinien werden auch eingestuft herauf aber eingestuft wird, die Biegung, die integral ist, bleibt an 4π konstant. So ist der Beitrag der Kantelinien zum Biegungintegral null. Schließlich ist die Gaußsche Biegung für eine gerade Kantelinie null aus dem selben Grund dieses die Gaußsche Biegung eines Zylinders; d.h. ist die Gaußsche Biegung das Produkt der Biegungen in den zwei Hauptrichtungen für die Oberfläche und für den Zylinder und die gerade Kante ist die Biegung auf null einstellen innen eine Hauptrichtung.
Da die Gesichter der Polyeder flach sind und null Gaußsche Biegung haben, liegt das gesamte Biegungintegral am Beitrag der Gipfel.
Für ein regelmäßiges Polyeder, das v-Gipfel ist das hat, Biegungintegral jedes Gipfels dann 4π/V. Es würde nett sein, diesen Beitrag zum Biegungintegral zu haben, das als Funktion des eckigen Defizits des Gipfels ausgedrückt wurde; d.h. der Unterschied zwischen 2π und der Summe der Winkel am Gipfel. Z.B. sind die Winkel an der Ecke eines Würfels drei Winkel π/2 der Einheitswinkel jedes. So ist das eckige Defizit für einen Gipfel eines Würfels (2π-3π/2)=π/2. Der Beitrag von jedem der acht Gipfel eines Würfels zum Biegungintegral ist 4π/8=π/2.
Für ein Tetraeder an jedem Gipfel gibt es drei Winkel von π/3, also ist das eckige Defizit π. Der Beitrag jedes Gipfels des Tetraeders ist 4π/4=π. Ein regelmäßiges Rhomboid hat sechs Gipfel, in denen vier äquilaterale Dreiecke zusammen kommen. So ist das eckige Defizit 2π-4π/3=2π/3. Der Beitrag jedes Gipfels der sechs Gipfel ist 4π/6=2π/3. So wieder ist der Beitrag zum Biegungintegral eines Gipfels seinem eckigen Defizit gleich.
Die Übersicht dieses Vorschlags für regelmäßige Polyeder fährt fort. Den Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons der n-Seiten zuerst merken ist (π-2π: /n). So für ein Pentagon sind die Innenwinkel 3π/5. gleich. Das dodecahedron hat drei Pentagone, an jedem Gipfel zusammen zu kommen, der folglich ein eckiges Defizit von π/5. hat. Die Zahl Gipfeln eines dodecahedron ist 20, also ist der Beitrag von jedem zum Biegungintegral 4π/20=π/5.
Das iscosahedron hat fünf Dreiecke, an jedem seiner zwölf Gipfel zusammen zu kommen. So ist das eckige Defizit an jedem Gipfel (2π-5π/3)=π/3. Jeder Gipfel trägt 4π/12=π/3 zum Biegungintegral bei. Der Vorschlag hält folglich für alle regelmäßigen Polyeder.
Der Beitrag eines konischen Punktes von 2π (1-sin (γi) kann als eckiges Defizit jetzt gedeutet werden. Wenn ein Kegel mit Spitzenwinkel von γ nach einem erzeugengrundsatz und entrollte geschnitten wird, ist der Winkel, der durch den entrollten Kegel umfaßt wird, 2πsin (γ), also ist das eckige Defizit 2π-2πsin (γ) oder 2π (1-sin (γ)). Folglich ist die im Allgemeinen nachgewiesen zu werden Vermutung:
Der Beweis dieser Vermutung würde bedeuten, dass die Verallgemeinerung des Gauß-Bonnet Theorems ist, dass das Integral der Gaußschen Biegung über den glatten Teilen einer geschlossenen Oberfläche plus die Summe des eckigen Defizits der einzigartigen Punkte 2π mal das Euler gleich ist, das von der Oberfläche charakteristisch ist.
Für die Gauß-Bonnet Formel für Geodäsiebiegung in der 2D Fläche wird der Beitrag an einem Eckpunkt in dem Drehenwinkel φ ausgedrückt ausgedrückt. Der Drehenwinkel ist gerade das eckige Defizit an solch einem Eckpunkt π-η, in dem η der Innenwinkel an der Ecke ist.
Es wurde über dem gefunden, welches das Integral der Biegung über den konischen Punkt -2π (1-sin (γ) ist) wo γ der Spitzenwinkel des Kegels ist. Wenn γ grösser als ist, hat π/2 die Oberfläche einen nicht protusive Punkt aber eine eingedrückte Eigenschaft. Der Effekt solcher eingedrückten Punkte auf das Biegungintegral einer Oberfläche ist folglich bereits innerhalb der vorhergehenden Analyse für Punkte eingeschlossen.
Ebenso würde ein scharfer Knick, so ein Teil der Oberfläche der Revolution für einer Profilkurve sein, die unten gezeigt wurde, ist eingeschlossen in der Analyse für den Effekt einer scharfen Kante mit dem Winkel, der durch den Bogen subtended ist, der grösser als π/2. ist. Wenn der Knick einen geraden Rand, den es hat, Beitrag zum Biegungintegral einer Oberfläche null ist, wie der Fall von einer Kante mit einem geraden Rand.
(Fortgesetzt werden.)
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