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e la relativa generalizzazione |
Il teorema del Gauss-Bonnet nello spazio 3D dice che l'integrale della curvatura gaussiana sopra una superficie regolare chiusa è uguale a 2π volte il Euler caratteristico della superficie.
Per esempio, una sfera del raggio R ha una curvatura costante di 1/R² in modo da l'integrale di curvatura sopra la superficie della sfera è la curvatura costante dei periodi 1/R² la zona della sfera di 4πR² che è uguale a 4π. Il Euler caratteristico della sfera è 2 in modo da l'integrale della curvatura di 4π è 2π (2). Il Euler caratteristico di un toro (ciambella) è zero in modo da l'integrale della curvatura sopra il toro è inoltre zero.
Un analogo del teorema di cui sopra per le superfici incluse nello spazio 3D tiene per le curve 1D nel 2D spazio. L'integrale della curvatura intorno ad una curva liscia è uguale a 2π; cioè,
dove il chilogrammo è la curvatura geodetica.
Per esempio, un cerchio del raggio R ha una curvatura geodetica costante di 1/R. La lunghezza della circonferenza del cerchio è 2πR in modo da l'integrale di curvatura intorno al cerchio è (1/R) 2πR che è 2π.
Una curva con gli angoli angolari presenta un problema differente. La curvatura all'angolo è, in effetti, infinita. La curvatura totale intorno alla curva è l'integrale sopra la parte regolare più la somma del φ di barre di rotazione ai punti d'angolo. La barra di rotazione ad un angolo è π meno l'angolo interno a quell'angolo.
Ciò spesso è denominata la formula del Gauss-Bonnet. Si noti che il lato destro delle misure di formula nello schema del teorema del Gauss-Bonnet in quanto il Euler caratteristico di un poligono piano è appena 1 perché per un poligono ci è 1 fronte ed il numero dei bordi e dei vertici è uguale.
Per esempio, un quadrato del lato D ha curvatura zero sulle parti diritte. Gli angoli interni sono tutti uguale a π/2 in modo da la somma dei quattro di loro è 2π.
Ci è un analogo della modifica del teorema per le curve non-liscie per le superfici non-liscie ma richiede uno sviluppo più complesso.
Molte delle superfici di interesse sono superfici del giro ottenute girando una curva circa un asse. Una sfera è generata girando un semicerchio circa l'asse del cerchio che collega i punti dell'estremità del semicerchio. Un toro è generato girando un cerchio completo circa un asse che non interseca il cerchio. Il teorema sotto le elasticità una formula semplice per l'integrale di curvatura sopra una superficie del giro. Si noti che una superficie del giro non è necessariamente una superficie chiusa.
Prova: Senza perdita significativa di generalità l'asse di rotazione può essere preso per essere il x-axis. Il α della curva di profilo (t) è allora (x (t), y (t)). La superficie del giro è (x (t), y (t) cos (θ), peccato di y (t) (θ)), dove il θ è l'angolo di rotazione circa il x-axis.
La parametrizzazione della curva di profilo può sempre essere scelta tali che
(x'(t))2+y'(t))2=1 (la curva di velocità di unità). Per una curva di profilo di velocità dell'unità la formula per la curvatura gaussiana della superficie del giro si riduce a
L'elemento di zona della superficie del giro è distacco (dθ di y (t)). L'integrale di curvatura sopra la superficie del giro allora è
Il φ di angolo che la tangente alla curva di profilo fa con il x-axis è dato in generale da
Così per un =y'(di peccato della curva di profilo di velocità dell'unità (φ) t). Di conseguenza l'integrale della curvatura gaussiana sopra una superficie del giro è dato vicino
Se una superficie del giro è di essere regolare e chiuso allora l'una o l'altra la curva di generazione è chiusa e non attraversa l'asse di rotazione o lo attraversa con φ (a) e φ (b) uguale a π/2 nella grandezza e dei segni opposti. Nel primo caso la superficie del giro è topologicamente l'equivalente ad un toro e nel secondo caso ad una sfera. Nel caso di un =φ di generazione chiuso del φ della curva (a) (b) e la curvatura totale è così zero. Per una sfera o un liscio sfera-come superficie del giro la curvatura totale è 2π (+1- (- 1))=4π.
Il teorema può essere usato per determinare l'effetto delle singolarità non-liscie quali i punti o le creste conici. Considerare la superficie del giro generata dal rotatin una curva intorno al x-axis. La curva comincia come linea retta che fa un angolo di β con il x-axis e l'estremità con un arco di un cerchio che interseca il x-axis ad un ad angolo retto.
La superficie del giro è descritta sotto.
La curvatura totale per questa superficie è 2π (peccato (β) - (- 1))=2π (peccato (β+1). Se la curva di generazione iniziata come arco di piccolo cirle che interseca il x-axis ad un ad angolo retto anziché un angolo tagliente allora la curvatura totale sia 2π (2). Così l'integrale di curvatura circa il punto conico è -2π (1-sin (γ)) dove γ è l'angolo dell'apex del cono.
La generalizzazione del teorema del Gauss-Bonnet alle superfici con soltanto le singolarità coniche sarebbe che la curvatura totale (che è uguale all'integrale della curvatura delle parti regolari della superficie più il contributo dovuto i punti conici) è uguale a 2πχ dove il χ è il Euler characterisitic della superficie.
dove {γi} è l'insieme degli angoli dell'apex dei punti conici della superficie.
Considerare una superficie del giro che è come un obiettivo. La sezione trasversale coinvolge due archi circolari che si incontrano ad un angolo tagliente come è il caso qui sotto.
La superficie del giro è descritta sotto.
Il teorema del Gauss-Bonnet (e la superficie del teorema di curvatura di giro) dice che la curvatura totale per l'obiettivo è uguale a 4π. L'integrale di curvatura sulle superfici regolari dell'obiettivo può essere valutato esclusivamente in modo da il contributo della cresta tagliente può essere trovato come la differenza. Poiché la curvatura sulle superfici regolari è una costante (1/r2) l'integrale di curvatura può essere trovato moltiplicando i tempi di curvatura la zona. Se l'arco per una superficie regolare sottende un angolo di ψ la zona è 2πr2 [1-cos (ψ/2)] per un lato e 4πr2 [1-cos (ψ/2)] per i due lati dell'obiettivo. Quando questa zona è moltiplicata per la curvatura di (1/r2) il risultato è un integrale di curvatura di 4π [1-cos (ψ/2)] sulle superfici regolari. Paragonando questo alla curvatura totale per la superficie del giro di 4π indica che il contributo della cresta tagliente è 4πcos (ψ/2).
La circonferenza della cresta tagliente è 2πrsin (ψ/2) in modo da la curvatura per lunghezza di unità della cresta è:
dove r1 è il raggio di curvatura della linea della cresta.
Lo schema sotto indica che il ψ di angolo ha sotteso dall'arco è lo stesso dell'angolo della cresta.
L'equazione di cui sopra che danno inversamente il contributo della linea della cresta all'integrale di curvatura proporzionale al raggio di curvatura della linea della cresta suggerisce che una linea diritta della cresta, uno per cui il raggio di curvatura è infinito, non abbia dato contributo all'integrale di curvatura. Ciò in effetti può essere stabilita dalle discussioni separate. Considerare la superficie del giro generata precedentemente per esaminare il contributo di un punto conico. Immaginare questa spaccatura della superficie a metà e le due parti separate ed allora collegate da una linea, da due piani e dalla parte di cilindro. Questa superficie estesa ancora avrebbe una curvatura totale di 4π. Gli aerei hanno curvatura zero in modo da il contributo della linea diritta della cresta deve essere controbilanciato esattamente tramite il contributo del segmento del cilindro. Ma la curvatura gaussiana di un cilindro è zero a tutti i punti in modo da il contributo del segmento del cilindro è zero e quindi anche quello della linea diritta della cresta. Una discussione supplementare per il contributo delle linee diritte della cresta all'integrale di curvatura di una superficie che è zero viene da una considerazione dei poliedri. Se un poliedro è regolato sulle lunghezze delle linee della cresta inoltre è regolato su ma la curvatura integrale rimane costante a 4π. Così il contributo delle linee della cresta all'integrale di curvatura è zero. Infine la curvatura gaussiana per una linea diritta della cresta è zero per la stessa ragione per cui la curvatura gaussiana di un cilindro; cioè, la curvatura gaussiana è il prodotto delle curvature nei due sensi principali per la superficie e per il cilindro e la cresta diritta la curvatura è azzera dentro un senso principale.
Poiché i fronti dei poliedri sono piani ed hanno curvatura gaussiana zero l'intero integrale di curvatura è dovuto il contributo dei vertici.
Per un poliedro normale che ha vertici di V l'integrale di curvatura di ogni vertice è allora 4π/V. Sarebbe piacevole avere questo contributo all'integrale di curvatura espresso in funzione del deficit angolare del vertice; cioè, la differenza fra 2π e la somma degli angoli al vertice. Per esempio, gli angoli all'angolo di un cubo sono tre angoli π/2 dei radianti ciascuno. Così il deficit angolare per un vertice di un cubo è (2π-3π/2)=π/2. Il contributo di ciascuno degli otto vertici di un cubo all'integrale di curvatura è 4π/8=π/2.
Per un tetraedro ad ogni vertice ci sono tre angoli di π/3 in modo da il deficit angolare è π. Il contributo di ogni vertice del tetraedro è 4π/4=π. Un romboide normale ha sei vertici in cui quattro triangoli equilateri vengono insieme. Così il deficit angolare è 2π-4π/3=2π/3. Il contributo di ogni vertice dei sei vertici è 4π/6=2π/3. Il contributo all'integrale di curvatura di un vertice è così ancora uguale al relativo deficit angolare.
L'indagine di questa proposta per i poliedri normali continua. In primo luogo notare l'angolo interno di un poligono normale dei lati di n è (π-2π: /n). Così per un pentagono gli angoli interni sono uguali a 3π/5. Il dodecahedron ha tre pentagoni venire insieme ad ogni vertice, che ha così un deficit angolare di π/5. Il numero dei vertici di un dodecahedron è 20 in modo da il contributo di ciascuno all'integrale di curvatura è 4π/20=π/5.
Il iscosahedron ha cinque triangoli venire insieme a ciascuno dei relativi dodici vertici. Così il deficit angolare ad ogni vertice è (2π-5π/3)=π/3. Ogni vertice contribuisce 4π/12=π/3 all'integrale di curvatura. La proposta tiene così per tutti i poliedri normali.
Il contributo di un punto conico di 2π (1-sin (γi) può ora essere interpretato come deficit angolare. Se un cono con l'angolo dell'apex di γ è tagliato seguendo una linea di generazione e si svolgesse l'angolo coperto dal cono svolto è 2πsin (γ) in modo da il deficit angolare è 2π-2πsin (γ) o 2π (1-sin (γ)). Di conseguenza la congettura da dimostrare generalmente è:
La prova di questa congettura significherebbe che la generalizzazione del teorema del Gauss-Bonnet è che l'integrale della curvatura gaussiana sopra le parti regolari di superficie chiusa più la somma dei deficit angolari dei punti singolari è uguale a 2π volte il Euler caratteristico della superficie.
Per la formula del Gauss-Bonnet per curvatura geodetica nel 2D aereo il contributo ad un punto d'angolo è espresso in termini di φ di barra di rotazione. La barra di rotazione è appena il deficit angolare a così π-η d'angolo del punto, in cui il η è l'angolo interno all'angolo.
È stato trovato sopra quello che l'integrale di curvatura circa il punto conico è -2π (1-sin (γ)) dove γ è l'angolo dell'apex del cono. Se γ è maggior di π/2 la superficie ha un punto protusive non ma una caratteristica rientrata. L'effetto di tali punti rientrati sull'integrale di curvatura di una superficie già è incluso così all'interno dell'analisi precedente per i punti.
Inoltre una piega tagliente, tale fa parte della superficie del giro per di una curva di profilo indicata sotto, è inclusa nell'analisi per l'effetto di una cresta tagliente con l'angolo sotteso dall'arco che è maggior di π/2. Se la piega ha un vantaggio che diritto esso il contributo all'integrale di curvatura di una superficie è zero, come è il caso di una cresta con un bordo diritto.
(Essere continuato.)
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