applet-magic.com
Thayer Watkins
Silicon Valley
Et Ruelle de tornade
LES Etats-Unis

Le théorème de Gauss-Bonnet
et sa généralisation

Le théorème de Gauss-Bonnet dans l'espace à trois dimensions indique que l'intégrale de la courbure gaussienne au-dessus d'une surface douce fermée est égale à 2π fois l'Euler caractéristique de la surface.


Pour une surface S
de ∫SK(ω)dω = 2πχ(S)
 

Par exemple, une sphère du rayon R a une courbure constante de 1/R2 ainsi l'intégrale de la courbure au-dessus de la surface de la sphère est la courbure constante des périodes 1/R2 le secteur de la sphère de 4πR2 qui est égal à 4π. L'Euler caractéristique de la sphère a 2 ans ainsi l'intégrale de la courbure de 4π est 2π (2). L'Euler caractéristique d'un tore (beignet) est zéro ainsi l'intégrale de la courbure au-dessus du tore est également zéro.

Un analogue du théorème ci-dessus pour des surfaces incluses dans l'espace à trois dimensions se tient pour les courbes 1D dans le 2D espace. L'intégrale de la courbure autour d'une courbe lisse est égale à 2π ; c.-à-d.,


∫Ckg (s) ds = 2π
 

là où le kilogramme est la courbure géodésique.

Par exemple, un cercle du rayon R a une courbure géodésique constante de 1/R. La longueur de la circonférence du cercle est 2πR ainsi l'intégrale de la courbure autour du cercle est (1/R) 2πR qui est 2π.

Une courbe avec les coins angulaires présente un problème différent. La courbure au coin est, en effet, infinie. Toute la courbure autour de la courbe est l'intégrale au-dessus de la partie douce plus la somme du φ d'angles de braquage aux points faisants le coin. L'angle de braquage à un coin est π moins l'angle intérieur à ce coin.


∫Ckg(s)ds + ΣCφi = 2π
 

Ceci s'appelle souvent la formule de Gauss-Bonnet. Notez que le côté droit des ajustements de formule dans l'arrangement du théorème de Gauss-Bonnet parce que l'Euler caractéristique d'un polygone plat est juste 1 parce que pour un polygone il y a 1 visage et le nombre de bords et de sommets sont égal.

Par exemple, une place du côté D a la courbure nulle sur les pièces droites. Tous les angles intérieurs sont égale au π/2 ainsi la somme des quatre d'entre eux est 2π.

Il y a un analogue de la modification du théorème pour les courbes non-lisses pour les surfaces non-lisses mais il exige un développement plus complexe.

Un théorème utile

Plusieurs des surfaces d'intérêt sont des surfaces de révolution obtenues en tournant une courbe autour d'un axe. Une sphère est produite en tournant un demi-cercle autour de l'axe du cercle qui relie les points finals du demi-cercle. Un tore est produit en tournant un plein cercle autour d'un axe qui n'intersecte pas le cercle. Le théorème ci-dessous donne une formule simple pour l'intégrale de la courbure au-dessus d'une surface de révolution. Notez qu'une surface de révolution n'est pas nécessairement une surface fermée.


Preuve : Sans perte significative de généralité l'axe de la rotation peut être pris pour être l'axe des abscisses. Le α(t) de courbe de profil est alors (x (t), y (t)). La surface de la révolution est (x (t), y (t) cos (θ), y(t)sin(θ)), où le θ est l'angle de la rotation au sujet de l'axe des abscisses.

La paramétrisation de la courbe de profil peut toujours être choisie tels que
(x'(t)) 2+y'(t)) 2=1 (la courbe de vitesse d'unité). Pour une courbe de profil de vitesse d'unité la formule pour la courbure gaussienne de la surface de la révolution réduit à


K(t, θ) = - y"(t)/y(t).
 

L'élément du secteur de la surface de la révolution est décollement (dθ de y (t)). L'intégrale de la courbure au-dessus de la surface de la révolution est alors


dθdt du ∫∫K (t, θ) y (t) = dθdt du ∫∫ (- y"(t)/y(t)y (t)
= - " (t) dθdt ∫∫y = - 2π∫y " (t) décollement = - 2π [y'(b)-y'(a)]
2π [y'(a)-y'(b)].
 

Le φ d'angle que la tangente à la courbe de profil fait avec l'axe des abscisses est donné en général près


=y'(t) de sin(φ)/[(x'(t)) 2+y'(t)) 2] 1/2.
 

Ainsi pour un =y'(t) de sine de courbe de profil de vitesse d'unité (φ). Par conséquent l'intégrale de la courbure gaussienne au-dessus d'une surface de révolution est donnée près


2π [sin(φ(a)) - sin(φ(b)]
 


Si une surface de révolution est d'être lisse et clôturé alors l'un ou l'autre la courbe se produisante est fermée et ne croise pas l'axe de la rotation ou elle le croise avec le φ(a) et le φ(b) égaux au π/2 dans la grandeur et de signes opposés. Dans le premier cas la surface de la révolution est topologiquement équivalent à un tore et dans le deuxième cas à une sphère. Dans le cas d'un φ(a)=φ(b) se produisant fermé de courbe et toute la courbure est ainsi zéro. Pour une sphère ou un lisse sphère-comme la surface de la révolution toute la courbure est 2π (+1- (- 1))=4π.

L'incorporation des points coniques dans le théorème de Gauss-Bonnet

Le théorème peut être employé pour déterminer l'effet des singularités non-lisses telles que les points ou les arêtes coniques. Considérez la surface de la révolution produite par rotatin une courbe autour de l'axe des abscisses. La courbe commence comme ligne droite faisant un angle du β avec l'axe des abscisses et des extrémités avec un arc d'un cercle intersectant l'axe des abscisses à un à angle droit.

La surface de la révolution est dépeinte ci-dessous.

Toute la courbure pour cette surface est 2π (sin(β) - (- 1))=2π (sin(β+1). Si la courbe se produisante commencée comme arc d'un petit cirle intersectant l'axe des abscisses à un à angle droit au lieu d'un angle pointu alors toute la courbure serait 2π (2). Ainsi l'intégrale de la courbure au sujet du point conique est - 2π (1-sin (le γ)) là où le γ est l'angle d'apex du cône.

La généralisation du théorème de Gauss-Bonnet sur des surfaces avec seulement des singularités coniques serait que toute la courbure (qui est égale à l'intégrale de la courbure des parties douces de la surface plus la contribution due aux points coniques) est égale à 2πχ où le χ est l'Euler characterisitic de la surface.


dω de ∫SK (ω) + ΣS [- 2π [1-sin (γi)]] = 2πχ(S) ;
ou, d'une manière equivalente
dω de ∫SK (ω) = 2πχ(S) ; + 2πΣS [1-sin (γi)]
 

là où {γi} est l'ensemble d'angles d'apex des points coniques de la surface.

L'incorporation des arêtes pointues dans le théorème de Gauss-Bonnet

Considérez une surface de la révolution qui est comme un objectif. La section transversale implique deux arcs circulaires qui se réunissent à un angle pointu de même que le cas ci-dessous.

La surface de la révolution est dépeinte ci-dessous.

Le théorème de Gauss-Bonnet (et la surface du théorème de courbure de révolution) indique que toute la courbure pour l'objectif est égale à 4π. L'intégrale de la courbure sur les surfaces douces de l'objectif peut être évaluée séparément ainsi la contribution de l'arête pointue peut être trouvée comme différence. Puisque la courbure sur les surfaces douces est une constante (1/r2) l'intégrale de la courbure peut être trouvée en multipliant les temps de courbure le secteur. Si l'arc pour les subtends extérieurs doux un angle de ψ le secteur est 2πr2 [1-cos(ψ/2)] pour un côté et 4πr2[1-cos (ψ/2)] pour les deux côtés de l'objectif. Quand ce secteur est multiplié par la courbure de (1/r2) le résultat est une intégrale de la courbure de 4π [1-cos(ψ/2)] sur les surfaces douces. Comparer ceci à toute la courbure pour la surface de la révolution de 4π prouve que la contribution de l'arête pointue est 4πcos(ψ/2).

La circonférence de l'arête pointue est 2πrsin(le ψ/2) ainsi la courbure par unité de longueur de l'arête est :


4πcos (ψ/2)/[2πrsin (livre par pouce carré ;/2)] = (2/r) lit de camp (ψ/2)
ou, d'une manière equivalente,
2cos (ψ/2)/r1
 
 

là où r1 est le rayon de courbure de la ligne de l'arête.

Le diagramme ci-dessous prouve que le ψ d'angle subtended par l'arc est identique que l'angle de l'arête.

L'équation ci-dessus qui apportent la contribution de la ligne d'arête à l'intégrale de courbure inversement proportionnelle au rayon de courbure de la ligne d'arête suggère qu'une ligne droite d'arête, un pour laquelle le rayon de courbure est infini, n'apporte aucune contribution à l'intégrale de courbure. Ceci en fait peut être établi par des arguments séparés. Considérez la surface de la révolution créée précédemment pour examiner la contribution d'un point conique. Imaginez cette fente de surface dans la moitié et les deux pièces séparées et alors reliées par une ligne, deux plans et partie d'un cylindre. Cette surface prolongée immobile aurait une courbure totale de 4π. Les avions ont la courbure nulle ainsi la contribution de la ligne droite d'arête doit être exactement équilibrée par la contribution du segment du cylindre. Mais la courbure gaussienne d'un cylindre est zéro à tous les points ainsi la contribution du segment du cylindre est zéro et par conséquent aussi celle de la ligne droite d'arête. Un argument additionnel pour la contribution des lignes droites d'arête à l'intégrale de courbure d'une surface étant zéro vient d'une considération des polyèdres. Si un polyèdre est mesuré vers le haut des longueurs des lignes d'arête sont également mesurés vers le haut de mais les restes intégraux de courbure constants à 4π. Ainsi la contribution des lignes d'arête à l'intégrale de courbure est zéro. Enfin la courbure gaussienne pour une ligne droite d'arête est zéro pour la même raison pour laquelle la courbure gaussienne d'un cylindre ; c.-à-d., la courbure gaussienne est le produit des courbures dans les deux principales directions pour la surface et pour le cylindre et le ridgle droit la courbure est zéro dans une direction principale.

Puisque les visages des polyèdres sont plats et ont la courbure gaussienne nulle l'intégrale entière de courbure est due à la contribution des sommets.

Pour un polyèdre régulier ayant des sommets de V l'intégrale de courbure de chaque sommet est alors 4π/V. Il ferait beau pour avoir cette contribution à l'intégrale de courbure exprimée en fonction du déficit anglular du sommet ; c.-à-d., la différence entre 2π et la somme des angles au sommet. Par exemple, les angles au coin d'un cube sont trois angles de π/2 radians pièce. Ainsi le déficit angulaire pour un sommet d'un cubel est (2π-3π/2) le =π/2. La contribution de chacun des huit sommets d'un cube à l'intégrale de courbure est 4π/8=π/2.

Pour un tétraèdre à chaque sommet il y a trois angles du π/3 ainsi le déficit angulaire est π. La contribution de chaque sommet du tétraèdre est 4π/4=π. Un rhomboïde régulier a six sommets dans lesquels quatre triangles équilaterales viennent ensemble. Ainsi le déficit angulaire est 2π-4π/3=2π/3. La contribution de chaque sommet des six sommets est 4π/6=2π/3. Tellement encore la contribution à l'intégrale de courbure d'un sommet est égale à son déficit angulaire.

L'aperçu de cette proposition pour les polyèdres réguliers continue. Notez d'abord l'angle intérieur d'un polygone régulier des côtés de n est (π-2&pi :/n). Ainsi pour un pentagone les angles intérieurs sont égaux à 3π/5. Le dodecahedron a trois pentagones venir ensemble à chaque sommet, qui a ainsi un déficit angulaire du π/5. Le nombre de sommets d'un dodecahedron est 20 ainsi la contribution de chacun à l'intégrale de courbure est 4π/20=π/5.

L'iscosahedron a cinq triangles venir ensemble à chacun de ses douze sommets. Ainsi le déficit angulaire à chaque sommet est (2π-5π/3) le =π/3. Chaque sommet contribue 4π/12=π/3 à l'intégrale de courbure. La proposition se tient ainsi pour tous polyèdres réguliers.

La contribution d'un point conique de 2π (1-sin (γi) peut maintenant être interprété comme déficit angulaire. Si un cône avec l'angle d'apex du γ est coupé suivant une ligne se produisante et se déroulait l'angle couvert par le cône déroulé est 2πsin (γ) ainsi le déficit angulaire est 2π-2πsin (γ) ou 2π (1-sin (γ)). Par conséquent la conjecture à avérer en général est :

La preuve de cette conjecture signifierait que la généralisation du théorème de Gauss-Bonnet est que l'intégrale de la courbure gaussienne au-dessus des parties douces d'une surface fermée plus la somme des déficits angulaires des points singuliers est égale à 2π fois l'Euler caractéristique de la surface.

Pour la formule de Gauss-Bonnet pour la courbure géodésique dans le 2D avion la contribution à un point faisant le coin est exprimée en termes de φ d'angle de braquage. L'angle de braquage est juste le déficit angulaire à un π-η si faisant le coin de point, où le η est l'angle intérieur au coin.

L'inclusion des points dentelés et des plis pointus dans l'analyse

On l'a trouvé au-dessus de cela que l'intégrale de la courbure au sujet du point conique est - 2π (1-sin (le γ)) là où le γ est l'angle d'apex du cône. Si le γ est le π plus grand que/2 la surface n'a pas un point protusive mais un dispositif dentelé. L'effet de tels points dentelés sur l'intégrale de courbure d'une surface est déjà inclus ainsi dans l'analyse précédente pour des points.

De même un pli pointu, tel ferait partie de la surface de la révolution de pour une courbe de profil montrée ci-dessous, est inclus dans l'anaysis pour l'effet d'une arête pointue avec l'angle subtended par l'arc étant le π plus grand que/2. Si le pli a un bord droit qu'il la contribution à l'intégrale de courbure d'une surface est zéro, de même que le cas d'une arête avec un bord droit.

(Être continué.)


HOME PAGE OF applet-magic
HOME PAGE OF Thayer Watkins