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Quand le calcul différentiel d'abord formulé d'Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz ils s'est servi du concept d'un infinitésimal ; c.-à-d., une quantité si petite que bien qu'elle ne soit pas zéro sa place et puissances plus élevées sont zéro. Aucun vrai nombre ne peut avoir cette propriété. Néanmoins les chercheurs ont trouvé l'essentiel égal utile de concept infinitésimal pour développer le calcul différentiel. À la fin du dix-neuvième siècle le mathématicien allemand Karl Weierstrauss a présenté le processus d'epsilon-delta qui a fourni une base rigoureuse pour le calcul et des instructeurs de mathématiques ont ensuite découragé des étudiants d'employer le concept infinitésimal. Il y avait cependant un grand nombre de recalcitrants qui ont maintenu le non-sens confortable des infinitesimals vivant.
Et alors en 1960 Abraham Robinson a trouvé une manière de fournir les bases rigoureuses pour des infinitesimals et les infinitesimals étaient ainsi acceptables dans pas exactement la bienvenue encore dans le discours mathématique de nouveau. Robinson a appelé sa formulation analyse non standard. Le but de ce matériel est expliquer, illustrer et justifier la formulation non standard d'analyse des infinitesimals. Ceci exige un examen de quelques bases mathemaical.
Un champ mathématique est un ensemble et deux opérations définies sur les éléments de cela placent, indiquent (S, +, *). La première opération, +, (appelé addition) est telle que :
Ces conditions s'élèvent (S, +) à être un groupe abélien.
La deuxième opération, *, (appelé multiplication) est tel que :
Un exemple d'un champ est les nombres raisonnables Q. Les nombres raisonnables sont habituellement dénotés comme a/b où b≠0, mais l'estafilade/est simplement symbolique. Ils pourraient être dénotés aussi bien en tant que ciseaux commandés (a, b). Mais k * a/k * b est le même élément qu'a/addition et multiplication de B. sont défini. L'identité additive est 0/1 et l'identité multiplicative est 1/1. L'inverse d'additif d'a/de b est - a/B. L'inverse multiplicatif d'a/de b pour a≠0 est b/A.
Un autre exemple d'un champ est les vrais nombres R avec la définition habituelle de l'addition et de la multiplication. Un vrai nombre correspond rudement à une corde infinie des chiffres. Ce n'est pas avec précision la correspondance parce que 1.999… est le même vrai nombre que 2.0000… Voir le vrai système de numération pour une histoire plus complète sur les bases logiques du vrai système de numération.
Un nouveau champ peut être créé d'un champ connu par un processus de ce qui s'appelle « toucher un élément au champ. » Par exemple, l'ensemble d'éléments de la forme p+q√2, où p et q sont des nombres raisonnables est un nouveau champ. La définition de l'addition de (p1+q1√2) avec (p2+q2√2) est [(p1+p2) + (q1+q2) √2]. La définition du produit multiplicatif de p1+q1√2 avec p2+q2√2 est (p1p2+2q1q2) + (p1q2+p2q1) √2. L'inverse inverse et multiplicatif additif sont facilement définis.
Les nombres complexes sont souvent considérés comme prolongation des reals créés en touchant l'élément imaginaire i, où i2=-1.
Ce procédé de toucher un élément à un champ est une manière standard d'expliquer la prolongation d'un champ, mais il y a quelque chose à son sujet qui semble soupçonneux. Clairement, en raison de l'imaginaire nommé choisi pour son unité de base, la création des nombres complexes a soulevé quelques doutes et soupçons quand elle a été formulée la première fois. Le processus de toucher un élément semble présumer l'existence de quelque chose pour laquelle il peut y avoir doute considérable au sujet de son existence. Comme sera montré au-dessous du problème avec le processus de se toucher de se toucher un élément est simplement une question de la façon dont il est expliqué.
Avant de procéder quelques remarques au sujet de √2 soyez en règle. Nous maintenant disons que la racine de x2=2 est √2 et l'identifions avec 1.41214…, mais considérons un moment où le champ le plus général connu était les nombres raisonnables. Les Grecs pouvaient montrer que √2 ne pourrait pas être un nombre raisonnable. Il se serait avéré à ce moment-là que la présomption d'une solution à x2=2 congering vers le haut d'une entité impossible. Sans notation (indienne) arabe pour des nombres les Grecs n'ont eu aucune manière de représenter √2 en tant que n'importe quoi comme 1.414214… Aujourd'hui même avec le modèle des vrais nombres étant essentiellement des ordres infinis des chiffres comme modèle pour les vrais nombres nous ne pouvons pas explicitement écrire la valeur de √2. Nous pouvons écrire √2 à n'importe quel degré d'approximation que nous désirons mais nous ne pouvons pas donner √2 en sa totalité. Néanmoins l'adjonction de la solution à x2=2 crée une prolongation de champ pour les nombres raisonnables.
Cependant la création des prolongements d'un champ employant des formules de la forme a+bγ ne sont pas nécessaire. Ce qui est vraiment impliqué du tel une prolongation de champ est que des ciseaux commandés de nombres raisonnables sont considérés avec de nouvelles définitions des services terrain de l'addition et de la multiplication. C'est-à-dire, un nouveau champ est défini en termes d'ensemble de ciseaux commandés (p, q) et l'addition de (p1, q1) et (p2, q2) est (p1+p2, q1+q2). La multiplication de (p1, q1) et (p2, q2) est ((p1p2+2q1q2), (p1q2+p2q1)) Avec ces définitions le produit (0.1) * (0.1) est égal (à 2.0) =2 (1.0). Ainsi (0.1) est la solution à l'équation x2=2.
De même il y a une méthode semblable pour produire des nombres complexes. Considérez comme étant simplement un nombre complexe des ciseaux commandés de vrais nombres avec la multiplication de (a, b) avec (c, d) à définir comme (C.A.-bd, ad+bc). Ainsi (0.1) * (0.1) = (- 1.0) = (1.0) ainsi (0.1) 2=- (1.0) et par conséquent (0.1) sont la racine carrée - de 1.
Considérez la prolongation du champ des nombres entiers aux nombres raisonnables. Si nous cherchons des solutions au bx=a d'équation (d'une manière equivalente bx-a=0) la prolongation de champ est les ciseaux commandés de nombres entiers (a, b). Dans cet a= prolongé de champ (a, 1) et b= (b, 1). La multiplication de (p, q) et (r, s) donne (P.R., qs). Ainsi si bx= du x= (a, b) puis (b, 1) (a, b) = (Ba, b) = (a, 1) =a. (a, b) est ainsi une solution à l'équation bx=a. L'addition de (p, q) avec (r, s) a la formule plus compliquée ((ps+rq), des qs).
Note par chacun de ces exemples, il y a un sous-champ des extentions de champ qui est isomorphe au champ original. Dans le cas de p+q√2 le sous-champ pour tous les éléments tels que q=0. Pour les nombres complexes a+b√ (- 1) le sous-champ est de tous les nombres tel que b=0. Pour la prolongation des nombres entiers aux nombres raisonnables (a/b) le sous-champ est des nombres raisonnables tels que b=1. Pour tous les prolongements d'un champ il doit y avoir un certain sous-champ du champ prolongé qui est isomorphe au champ original.
Un autre terme qui est appliqué à ce processus crée le champ des fractions. Ce terme est employé pour décrire la création d'un champ de la structure plus générale d'un anneau, une structure comme un champ mais ne pas avoir des inverses multiplicatifs pour ses éléments.
Le mathématicien polonais Mikunski a développé un champ intéressant des mathématiques en utilisant cette construction où l'ensemble S est des fonctions et la multiplication est convolution.
Pour plus sur le champ les prolongements voient la théorie de Galois.
Notez que ce processus de toucher un élément à un champ ne nous indiquent rien au sujet des entités telles que √2 ou i=√ (- 1) ; il nous donne juste un champ dans lequel il y a un élément qui satisfait la condition définissante pour l'entité. Naturellement le processus peut être employé pour créer un champ de prolongation des nombres raisonnables dans lesquels il y a une solution à x2=3 ou à x2=5 et ainsi de suite. (En fait pour toute racine polynôme d'équation.)
Leibniz et les premiers lotisseurs du calcul ont considéré les conditions définissantes pour un ε infinitésimal en tant qu'étant ε≠0 et ε2=0.
Le secteur mathématique appelé les formes différentielles établit un système dans lequel la place d'un différentiel est zéro.
Il s'avère cela dans l'analyse non standard que ceci au-dessus de la condition pour un infinitésimal n'est pas exigé. L'analyse non standard fournit une manière de prolonger le vrai champ de nombre à un champ, appelé les hyperreals dans lesquels les entités existent qui ont les propriétés essentielles des infinitesimals. Mais une prolongation à un nouveau champ exige que chaque élément de non zéro ont un inverse multiplicatif. Ceci signifie qu'une nécessité infinitésimale de non zéro ont un élément inverse. L'inverse d'une entité infiniment petite doit être une entité infiniment grande. Puisque des infinitesimals positifs sont considérés comme les entités de non zéro moins que tout vrai nombre positif la quantité appropriée pour un inverse multiplicatif serait une entité qui est plus grande que n'importe quel vrai nombre mais pas égale à l'infini, une sorte d'infinité. En accord avec la conceptualisation des infinitesimals, une infinité serait une entité numérique si grande qu'alors qu'elle n'est pas infinie sa place soit.
Un champ est commandé si une commande peut être définie tels que pour deux éléments quelconques de l'ensemble a et b, l'a>b, l'a=b ou le b>a. pour deux nombres raisonnables a/b et c/d leur ordre est déterminé par le signe de l'annonce-avant Jésus Christ ; c.-à-d., si ad-bc>0 puis (a/b) > (c/d) et ainsi de suite.
En plus de la condition exprimée ci-dessus, appelé l'état de trichotomy, la relation d'ordre doit satisfaire les conditions suivantes :
Que quelques buts il est plus commode utilisent le ≥ de relation d'ordre. Dans cette égalité de formulation d'a≥b de moyens d'a et de b et de b≥a.
Un champ commandé est complet si des chaque de ses sous-ensembles non vides qui ont une limite supérieure en ce qui concerne la relation d'ordre dans le domaine ont une moindre limite supérieure en ce qui concerne cette relation d'ordre.
Tandis qu'il y a beaucoup de différents champs, il y a essentiellement seulement un champ commandé complet, les vrais nombres, dans le sens que n'importe quel champ commandé complet est isomorphe aux vrais nombres.
Il y a un théorème ce déclare qu'un champ peut être prolongé par la racine d'une équation polynôme. Si la condition définissant un infinitésimal pourrait être énoncée comme équation polynôme le processus de construire un infinitésimal serait facile. La situation est plus complexe. Un ε infinitésimal, comme défini par exemple par Jerome Keisler dans sa base de calcul infinitésimal, est tel que pour tout le vrai r positif, |ε| < le R. ceci inclut zéro en tant qu'infinitésimal, le seul vrai nombre infinitésimal.
De cette définition il découle que si le ε et le δ sont des infinitesimals puis ε+δ est également un infinitésimal, mettent à zéro probablement. Considérez n'importe quel vrai positif R. Puis |ε|<r/2 parce que r/2 est un vrai nombre positif. De même |δ|<r/2. Par conséquent |ε+δ|<r. De même ε * le δ est un infinitésimal, mettent à zéro probablement. Encore la preuve est de considérer tout vrai nombre positif R. Puis |ε| et |δ| sont moins que le √r et en conséquence |ε * δ|<r. En outre le sε pour tout le vrai s fini est un infinitésimal. Considérez n'importe quel vrai R. positif si |s|≤1 alors |sε|≤|ε|<r. Si |s|>1 alors |ε|<r/|s| ainsi |sε|<r.
Keisler l'a trouvé commode pour donner une définition équivalente (pour des infinitesimals positifs) As
pour tous les nombres entiers positifs.
Notez que dans la formulation de Keisler il n'est pas clair qu'il y aurait n'importe quelle manière d'établir que le produit de deux infinitesimals quelconques est zéro, la condition qui a été pensée aux marques le concept utile.
Considérez d'abord RN, l'ensemble d'ordres à valeurs réelles ; par exemple, <r1, r2, r3,… >. La notation appropriée pour un tel ordre est < rn : n∈N>. La somme et le produit de deux tels ordres sont définis de la manière évidente :
Il y a une identité additive ; c.-à-d., < 0, 0, 0,… >. Il y a des inverses additifs ; c.-à-d., l'inverse d'additif de < rn : le n∈N> est < - rn : n∈N>.
Il y a une identité multiplicative ; c.-à-d., < 1, 1, 1,… >, mais là n'est aucun inverse multiplicatif pour n'importe quel ordre qui contient même un 0. La construction d'un champ impliquant ces ordres à valeurs réelles doit donc prendre un détour.
Considérez l'ensemble de valeurs de l'index n tels que les composants de deux ordres sont égaux ; c.-à-d., {∈ N de n : rn=sn}. On pourrait définir la condition de deux ordres convenant presque partout si l'ensemble où ils ne conviennent pas est fini. Il serait alors vrai que si un <r> d'ordre est conforme au <s> presque partout et le <s> soit conforme presque partout au <r> de <t> alors est d'accord avec le <t> presque partout. Ce servirait de base à définir une relation d'équivalence sur des ordres à valeurs réelles, RN. La construction utilisée dans l'analyse non standard pour créer infinitésimal se sert d'une relation d'équivalence différente, mais elle atteint l'objectif d'expliquer la nature des infinitesimals pour se servir du rapport ci-dessus. Pour plus sur le clic d'équivalence alternatif de relation ici.
Une relation d'équivalence crée les classes d'équivalence. Dans le cas de la création des nombres raisonnables des nombres entiers
est une classe d'équivalence qui est habituellement identifiée avec 1/2. Dans le cas de vrais nombres comme les ordres infinis des chiffres une classe d'équivalence est {1.000…, 0.999…} ce qui est habituellement représenté par 1.000…
L'ensemble de tous les ordres à valeurs réelles qui sont équivalents au <r> d'ordre est dénoté comme [r]. La prolongation des vrais nombres est l'ensemble de ces classes d'équivalence.
L'addition et la multiplication peuvent être définies sur ces classes d'équivalence.
Ces expressions indiquent que la somme de la classe d'équivalence avec r en tant que membre et de la classe d'équivalence avec s en tant que membre est la classe d'équivalence de la somme de r et de S. de même pour la multiplication. Il doit établir que le résultat ne dépend pas de quels membres des classes d'équivalence ont été choisis comme represenatives. Si ce n'étaient pas vrai puis l'addition des classes d'équivalence ne serait pas bien définie.
L'existence des inverses additifs pour les classes d'équivalence est simple ; c.-à-d., l'inverse de [r] est [- r]. L'inverse multiplicatif de [r] est construit du représentant de la classe r en produisant d'un ordre s selon la règle
Maintenant r * s ne sera pas exactement égal à <1, 1, 1, &ellip ; > : mais il sera égal à lui presque partout. Ainsi r * s appartient à la classe d'équivalence de <1, 1, 1, &ellip ; > :. En d'autres termes, [r * s] = [<1, 1, 1,… > :]. Ainsi, fournissant que chaque étape est bien définie, [r] * [s] = [r * s] = [<1, 1, 1,… > :], l'identité multiplicative du système. Par conséquent chaque classe d'équivalence a un inverse multiplicatif.
Ceci signifie que le système des classes d'équivalence est un champ.
En outre une relation d'ordre peut être définie sur ces classes d'équivalence ainsi le champ est un champ commandé. Pour deux ordres à valeurs réelles r et s
C'est ici qu'une définition plus sophistiquée de doit être définie presque partout. Accepter sur la foi qu'une telle relation d'ordre peut être correctement définie alors les classes d'équivalence des ordres à valeurs réelles constitue une prolongation appropriée du vrai système de numération. C'est le champ des nombres hyperreal, * R.
Un infinitésimal dans * R est la classe d'équivalence de, par exemple, l'ordre
Ainsi ε = [< 1, 1/2, 1/3, 1/4,… >]
Cet ordre est nulle part égal à < 0, 0, 0,… > ainsi ε≠0. Pour n'importe quel ordre des constantes, la parole < k, k, k,… > il peut établir que ε < < k, k, k,… >. Ainsi n'importe comment petit k est, à condition qu'il soit positif, le ε est moins que le K. (l'ensemble d'ordres de la forme < k, k, k,… > constitue le sous-champ * de R qui est isomorphe au vrai système de numération R.
Comme a été fait précédemment, il peut montrer que la somme de deux infinitésimaux est une infinitésimale, probablement le zéro infinitésimal. De même le produit de tout vrai nombre et d'un infinitésimal est un infinitésimal.
L'inverse du ε est la classe d'équivalence de
ce qui est en forme d'un nombre infini, mais pas nécessairement ayant les mêmes propriétés qu'un infini défini dans un autre système mathématique. Pour le ω d'appel de moment une infinité. En particulier, ω < ω2. Mais la propriété cruciale des infinités est qu'ils sont des inverses multiplicatifs des infinitesimals. Généralement le produit d'une infinité et d'un infinitésimal est un vrai nombre fini.
Notez que l'ordre du ω relatif que ω2 est 1/ω, qui est le ε infinitésimal. De même c'est le cas que l'ordre de à ε ε2 relatif est infinitésimal.
Le champ * R a un ensemble d'infinitesimals groupés infinitesimally de près de zéro comme un halo. Puisque * R est fermé sous l'addition et a contenu une image de R, il y a un halo semblable au sujet de chaque vrai nombre. (Puisque les infinités sont également des éléments de * R il y a un halo des infinitesimals au sujet de chaque infinité.)
Les éléments de * R sont divisés dans les classes d'équivalence basées sur la relation de différer par un infinitésimal ; c.-à-d., x et y sont dans la même classe d'équivalence, x≈y dénoté, si de x/y est un infinitésimal. Le vrai nombre simple dans chaque classe d'équivalence est le choix évident comme représentant de la classe.
La prolongation d'une fonction définie sur les reals à une définie sur les hyperreals est beaucoup plus facile qu'on prévoirait. Un hyperreal est une classe d'équivalence des ordres de vrais nombres. Considérez une fonction f :R→R. Laissez x être tout le hyperreal et laissez le <r>= {rn : le n∈N} soit n'importe quel élément du x= d'équivalence de la classe X. en d'autres termes, [<r>]. Puis {f (rn) : le n∈N} est un ordre de vrais nombres et appartient à une classe d'équivalence dedans * R, les hyperreals. Puis la prolongation de la fonction f () aux hyperreals, * f :* R→ * R, est simplement,
Laissez h [x] soit le halo de x, la classe d'équivalence des hyperreals qui inclut le X. La continuité d'une fonction f définie dessus * R peut maintenant être exprimé comme suit :
Une fonction f () est continue au point x0 si et seulement si
Par exemple, considérez la fonction f (x)=x2. Puis
Depuis 2x * le ε + le ε2 est un infinitésimal, le ≈f de f (x+ε) (x). Par conséquent x2 est continu pour tout le vrai X.
Considérez maintenant la fonction g (x)=2x. Puis g (0) =1. Alors g (ε) par l'expansion binomiale généralisée est (1+1) ε=1+ε+b * ε2 pour un certain vrai B. par conséquent g (ε) - g (0) est un infinitésimal et par conséquent g (x)=2x est continu à x=0.
Il est naturellement également facile s'avérer ces mêmes résultats en utilisant le procédé de ε-δ de Weierstrass mais il est plus facile notable en utilisant le concept des infinitesimals. Ceci mène à un aspect de ce qui est venu pour s'appeler le principe de transfert. Puisqu'il est plus facile s'avérer quelques résultats dans les hyperreals que dans les reals il est avantageux de transférer l'emplacement de la preuve aux hyperreals. Puisque les hyperreals contiennent les reals si quelque chose est vraie pour tous les hyperreals il est donc vrai pour tous les reals.
Notez qu'il n'y a aucune nécessité de ε2 étant zéro ; il juste doit avoir l'effet nul sur la classe d'équivalence qu'une somme appartient à.
Le dérivé d'une fonction f (x) au vrai numéro X est égal à un vrai nombre L si et seulement si pour n'importe quel ε infinitésimal de non zéro
Il n'y a naturellement aucun problème il de y a un inverse multiplicatif pour un ε de non zéro. Prenez l'exemple simple de f (x)=x2 encore.
Si une fonction f () est connue pour avoir un f'(x) dérivé à x puis le rapport
est un rapport au sujet des classes d'équivalence.
Voir les trois approches à l'intégration.
(Être continué.)
Pour définir la relation d'équivalence appropriée il est nécessaire de considérer le concept des filtres et des ultrafiltres. Un filtre F est une collection de sous-ensembles d'un ensemble S tels que si A et B appartiennent à S puis l'intersection d'A et B appartient également au filtre de F.A en outre exige que si A appartient à F puis tous les superjeux d'A appartiennent au F. qu'un ultrafiltre U est un filtre tels que pour n'importe quel sous-ensemble A de S, A appartient à U ou le complément d'A dans S, Ac= (SA), appartient à U (mais pas à tous les deux).
La relation d'équivalence sur l'ensemble d'ordres à valeurs réelles qui est approprié est basée sur un ultrafiltre non-principal sur les ordres à valeurs réelles. (Nonprincipal signifie que l'ultrafiltre n'est pas produit par seulement un élément simple.) deux ordres, <r> et <s>, sont modulo équivalent l'IFF de l'ultrafiltre U
Sources :
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