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Als Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz zuerst formulierte Differentialrechnung sie das Konzept von einem Infinitesimal gebrauchte; d.h. sind eine kleine Quantität so daß, obgleich sie nicht null ist, sein Quadrat und höheren Energien null. Keine reale Zahl kann diese Eigenschaft haben. Dennoch fanden Forscher das nützliche gleichmäßige wesentliche des Infinitesimalkonzeptes für das Entwickeln der Differentialrechnung. Im neueren 19.jahrhundert stellte der deutsche Mathematiker Karl Weierstrauss den Epsilon-dreiecksprozeß vor, der eine rigorose Grundlage für das Kalkül zur Verfügung stellte und Mathematikausbilder danach Kursteilnehmer vom Verwenden des Infinitesimalkonzeptes entmutigte. Es gab jedoch viele recalcitrants, die den bequemen Unsinn von Infinitesimalen lebendig hielten.
Und dann 1960 fand Abraham Robinson eine Weise, rigorose Grundlagen für Infinitesimalen zur Verfügung zu stellen und folglich waren Infinitesimalen nicht genau im Willkommen wieder in der mathematischen Darlegung noch einmal annehmbar. Robinson nannte seine Formulierung Nicht-Standard-Analyse. Der Zweck dieses Materials ist, die Nicht-Standard-Analyse Formulierung von Infinitesimalen zu erklären, zu veranschaulichen und zu rechtfertigen. Dieses erfordert einen Bericht einiger mathemaical Grundlagen.
Ein mathematisches Feld ist ein Satz und zwei Betriebe, die auf den Elementen von dem definiert werden, stellen ein, sagen (S, +, *). Der erste Betrieb, +, (benannt Hinzufügung) ist so, daß:
Diese Bedingungen betragen (S, +) Sein eine Abelsche Gruppe.
Der zweite Betrieb, *, (Vermehrung) ist so benannt, daß:
Ein Beispiel eines Feldes ist die rationalen Zahlen Q. Die rationalen Zahlen werden normalerweise als a/b bezeichnet, in dem b≠0, aber der Schrägstrich/bloß symbolisch ist. Sie konnten als bestellte Paare (a, b) ebensogut bezeichnet werden. Aber k * a/k * b ist das gleiche Element, das a/b. Hinzufügung und Vermehrung definiert werden. Die additive Identität ist 0/1 und multiplikative Identität ist 1/1. Das Zusatzgegenteil von a/von b ist - a/b. Das multiplikative Gegenteil von a/von b für a≠0 ist b/a.
Ein anderes Beispiel eines Feldes ist die realen Zahlen R mit der üblichen Definition von Hinzufügung und von Vermehrung. Eine reale Zahl entspricht ungefähr einer endlosen Zeichenkette der Stellen. Dieses ist nicht genau die Korrespondenz, weil 1.999… ist die gleiche reale Zahl wie 2.0000… Sehen Sie reales Zahlensystem für eine komplettere Geschichte auf den logischen Grundlagen des realen Zahlensystems.
Ein neues Feld kann verursacht werden von einem bekannten Feld durch einen Prozeß von, was wird genannt „Angrenzen eines Elements zum Feld.“ Z.B. ist der Satz der Elemente der Form p+q√2, in der p und q rationale Zahlen sind, ein neues Feld. Die Definition der Hinzufügung von (p1+q1√2) mit (p2+q2√2) ist [(p1+p2) + (q1+q2) √2]. Die Definition des multiplikativen Produktes von p1+q1√2 mit p2+q2√2 ist (p1p2+2q1q2) + (p1q2+p2q1) √2. Das additive umgekehrte und multiplikative Gegenteil werden leicht definiert.
Die komplizierten Zahlen werden häufig für eine Verlängerung der reals gehalten, die indem man das eingebildete Element I, wo i2=-1 verursacht werden, angrenzt.
Dieses Verfahren des Angrenzens eines Elements zu einem Feld ist eine Standardweise des Erklärens der Verlängerung eines Feldes, aber es gibt etwas über es, das mißtrauisch scheint. Offenbar wegen des Namenseingebildeten gewählt für seine grundlegende Maßeinheit, warf die Kreation der komplizierten Zahlen etwas Zweifel und Misstrauen auf, als sie zuerst formuliert wurde. Der Prozeß des Angrenzens eines Elements scheint, das Bestehen von etwas zu theoretisieren, für das es beträchtlichen Zweifel über sein Bestehen geben kann. Wie unterhalb des Problems mit Prozeß des Angrenzens des Angrenzens gezeigt wird, ist ein Element bloß eine Angelegenheit von, wie es erklärt wird.
Bevor Sie einige Anmerkungen über √2 fortfahren, seien Sie im Auftrag. Wir jetzt sagen, daß die Wurzel von x2=2 √2 ist und kennzeichnen es mit 1.41214…, aber betrachten eine Zeit, als das allgemeinste bekannte Feld die rationalen Zahlen war. Der Grieche war in der Lage, zu prüfen, daß √2 nicht eine rationale Zahl sein könnte. Es würde zu dieser Zeit geschienen haben, daß das Theoretisieren einer Lösung zu x2=2 herauf ein unmögliches Wesen congering. Ohne die arabische (indische) Darstellung für Zahlen hatte der Grieche keine Weise des Darstellens von von √2 als alles wie 1.414214… Gleichmäßiger heutiger Tag mit dem Modell der realen Zahlen, die im Wesentlichen endlose Reihenfolgen der Stellen als Modell für die realen Zahlen können wir sind, nicht den Wert von √2 ausdrücklich schreiben. Wir können √2 zu irgendeinem Grad Näherungswert schreiben, den wir wünschen, aber wir können nicht √2 in seiner Ganzheit geben. Dennoch verursacht die Adjunktion der Lösung zu x2=2 eine Feldverlängerung für die rationalen Zahlen.
Jedoch sind die Kreation von Verlängerungen eines Feldes, das Formeln der Form a+bγ verwendet, nicht notwendig. Was wirklich in solches miteinbezogen wird, ist eine Feldverlängerung, daß bestellte Paare der rationalen Zahlen mit neuen Definitionen der Feldbetriebe von Hinzufügung und von Vermehrung betrachtet werden. Das heißt, wird ein neues Feld in dem Satz der bestellten Paare (p, q) ausgedrückt definiert und die Hinzufügung von (p1, q1) und (p2, q2) ist (p1+p2, q1+q2). Die Vermehrung von (p1, q1) und (p2, q2) ist ((p1p2+2q1q2), (p1q2+p2q1)) Mit diesen Definitionen ist das Produkt (0.1) * (0.1) (2.0) =2 (1.0) gleich. So (0.1) ist die Lösung zur Gleichung x2=2.
Ebenso gibt es eine ähnliche Methode für das Erzeugen der komplizierten Zahlen. Betrachten Sie einfach eine komplizierte Zahl, ein bestelltes Paar reale Zahlen mit der wie definiert zu werden Vermehrung, von (a, b) mit zu sein (c, d) (Wechselstrom-bd, ad+bc). So (0.1) * (0.1) = (- 1.0) = (1.0) so (0.1) 2=- (1.0) und folglich (0.1) ist die Quadratwurzel von - 1.
Betrachten Sie die Verlängerung des Feldes von Ganzzahlen zu den rationalen Zahlen. Wenn wir Lösungen zum Gleichung bx=a suchen (gleichwertig bx-a=0) ist die Feldverlängerung bestellte Paare Ganzzahlen (a, b). In diesem ausgedehnten Feld a= (a, 1) und im b= (b, 1). Vermehrung von (p, q) und (r, s) gibt (Fotorezeptor, qs). So, wenn x= (a, b) dann bx= (b, 1) (a, b) = (Ba, b) = (a, 1) ist =a. folglich (a, b) eine Lösung zur Gleichung bx=a. Die Hinzufügung von (p, q) mit (r, s) hat die schwierigere Formel ((ps+rq), qs).
Anmerkung für jedes dieser Beispiele, gibt es einen Unterbereich der Feld extentions, der zum ursprünglichen Feld isomorph ist. Im Falle p+q√2 der Unterbereich für alle Elemente so daß q=0. Für die komplizierten Zahlen a+b√ (- 1) ist der Unterbereich von allen Zahlen so daß b=0. Für die Verlängerung der Ganzzahlen zu den rationalen Zahlen (a/b) ist der Unterbereich rationale Zahlen so daß b=1. Für alle Verlängerungen eines Feldes muß es irgendeinen Unterbereich des ausgedehnten Feldes geben, das zum ursprünglichen Feld isomorph ist.
Eine andere Bezeichnung, die an diesem Prozeß angewendet wird, verursacht das Feld der Brüche. Diese Bezeichnung wird verwendet, um die Kreation eines Feldes von der allgemeineren Struktur eines Ringes, eine Struktur zu beschreiben wie ein Feld aber Haben nicht der multiplikativen Gegenteile für seine Elemente.
Der polnische Mathematiker Mikunski entwickelte ein interessantes Feld von Mathematik mit diesem Aufbau, in dem der Satz S von den Funktionen ist und Vermehrung Windung ist.
Für mehr auf Feld sehen Verlängerungen Galois Theorie.
Merken Sie, daß dieser Prozeß des Angrenzens eines Elements zu einem Feld uns nichts über die Wesen wie √2 oder i=√ erklären (- 1); er gibt uns ein Feld gerade, in dem es ein Element gibt, das die definierende Bedingung für das Wesen erfüllt. Selbstverständlich kann der Prozeß verwendet werden, um ein Verlängerung Feld von den rationalen Zahlen zu verursachen, in denen es eine Lösung zu x2=3 oder zu x2=5 und so weiter gibt. (Tatsächlich für irgendeine polynomische Gleichung Wurzel.)
Leibniz und die frühen Entwickler des Kalküls hielten die definierenden Bedingungen für ein Infinitesimalε seiend ε≠0 und ε2=0. If we consider elements of the form a+bε and c+dε, where a,b,c,d are real numbers, the definitions of addition and multiplication are given by (a+c)+(b+d)ε and ac + (ad+bc)ε. These operations can be restated in terms of order pairs as (a,b)+(c,d)=((a+c),(b+d)) and (a,b)*(c,d)=(ac,(ad+bc)). This addition is obviously associative and commutative. There exists exists the additive identity of (0,0) and the additive inverse of (a,b) is (-a,-b). The associativity of multiplication holds because
Die Identität für Vermehrung ist (1.0). Das Problem kommt, wenn es ein multiplikatives Gegenteil für jedes Element anders als findet (0.0). Von insbesondere was sein könnte das multiplikative Gegenteil (0.1)?
Der mathematische Bereich, der differentiale Formen genannt wird, stellt ein System her, in dem das Quadrat eines Differentials null ist.
Er fällt den in der nichtstandardisierten Analyse aus, die dieses über Bedingung für ein Infinitesimal nicht angefordert wird. Nichtstandardisierte Analyse liefert eine Weise, das reale Zahlfeld auf ein Feld zu verlängern, genannt die hyperreals, in denen Wesen bestehen, die die wesentlichen Eigenschaften von Infinitesimalen haben. Aber eine Verlängerung zu einem neuen Feld erfordert, daß jedes ungleich Nullelement ein multiplikatives Gegenteil haben. Dies heißt, daß ein ungleich Null Infinitesimalmuß ein umgekehrtes Element hat. Das Gegenteil eines unendlich kleinen Wesens muß ein unendlich großes Wesen sein. Da positive Infinitesimalen betrachtet werden, ungleich Nullwesen zu sein kleiner, als jede positive reale Zahl die passende Quantität für ein multiplikatives Gegenteil ein Wesen sein würde, das grösser als irgendeine reale Zahl aber nicht Gleichgestelltes zur Unbegrenztheit ist, eine Art der Unendlichkeit. In Uebereinstimmung mit der Konzeptualisierung von Infinitesimalen, würde eine Unendlichkeit ein numerisches Wesen sein, das so groß ist, daß, während es nicht endlos ist, sein Quadrat ist.
Ein Feld wird bestellt, wenn einer Einrichtung definiert werden kann so, daß für alle mögliche zwei Elemente des Satzes a und b, entweder a>b, a=b oder b>a. für zwei rationale Zahlen a/b und c/d ihr Auftrag durch das Zeichen der Anzeige-bc festgestellt wird; d.h. wenn ad-bc>0 dann (a/b) > (c/d) und so weiter.
Zusätzlich zur Bedingung, die oben, benannt den Trichotomyzustand ausgedrückt wird, muß die Auftrag Relation die folgenden Zustände erfüllen:
Zu etwas Zwecken ist es bequemer, das Auftrag Relation ≥ zu verwenden. In dieser Formulierunggleichheit von a und b Mittel a≥b und von b≥a.
Ein bestelltes Feld ist komplett, wenn jede seiner nicht leeren Teilmengen, die ein oberes Limit in Bezug auf die Auftrag Relation im Feld hat, ein weniges oberes Limit in Bezug auf diese Auftrag Relation hat.
Während es viele unterschiedliche Felder gibt, gibt es im Wesentlichen nur ein komplettes bestelltes Feld, die realen Zahlen, in der Richtung, daß jedes komplette bestellte Feld zu den realen Zahlen isomorph ist.
Es gibt ein Theorem daß Zustände, daß ein Feld durch die Wurzel einer polynomischen Gleichung verlängert werden kann. Wenn die Bedingung, die ein Infinitesimal definiert, als polynomische Gleichung angegeben werden könnte, würde der Prozeß des Konstruierens ein Infinitesimal einfach sein. Die Situation ist komplizierter. Ein Infinitesimalε, wie zum Beispiel von Jerome Keisler in seiner Grundlage des Infinitesimalkalküls definiert, ist so, daß für alles positive reale r, |ε| < schließt R. dieses null als Infinitesimal ein, die einzige reale Infinitesimal Zahl.
Von dieser Definition folgt es, daß, wenn ε und δ Infinitesimalen dann sind, ε+δ auch ein Infinitesimal ist, auf Null einstellt vielleicht. Betrachten Sie jedes reale Positiv R. Dann |ε|<r/2, weil r/2 eine positive reale Zahl ist. Ebenso |δ|<r/2. Folglich |ε+δ|<r. Ähnlich ε * δ ist, auf Null einstellen vielleicht ein Infinitesimal. Wieder ist der Beweis, jede positive reale Zahl R. zu betrachten. Dann |ε| und |δ| sind kleiner als √r und infolgedessen |ε * δ|<r. Ausserdem ist sε für alles begrenzte reale s ein Infinitesimal. Betrachten Sie jedes positive reale R. wenn |s|≤1 dann |sε|≤|ε|<r. Wenn |s|>1 dann |ε|<r/|s| so |sε|<r.
Keisler fand es bequem, eine gleichwertige Definition zu geben (für positive Infinitesimalen) wie
für alle positiven Ganzzahlen.
Merken Sie, daß in der Formulierung Keislers es nicht frei ist, daß es jede mögliche Weise geben würde, herzustellen, daß das Produkt irgendwelcher zwei Infinitesimalen null ist, die Bedingung, die zu den Marken das nützliche Konzept gedacht wurde.
Betrachten Sie zuerst RN, den Satz von Realwertreihenfolgen; z.B. <r1, r2, r3,… >. Die korrekte Darstellung für solch eine Reihenfolge ist < rn: n∈N>. Die Summe und das Produkt von zwei solchen Reihenfolgen werden in der offensichtlichen Weise definiert:
Es gibt eine additive Identität; d.h. < 0, 0, 0,… >. Es gibt additive Gegenteile; d.h. das Zusatzgegenteil von < rn: n∈N> ist < - rn: n∈N>.
Es gibt eine multiplikative Identität; d.h. < 1, 1, 1,… >, aber dort ist kein multiplikatives Gegenteil für jede mögliche Reihenfolge, die sogar ein 0 enthält. Der Aufbau eines Feldes, das diese Realwertreihenfolgen mit einbezieht, muß einen Umweg folglich nehmen.
Halten Sie den Satz der Werte des Index n für so, daß die Bestandteile von zwei Reihenfolgen gleich sind; d.h. {n ∈ N: rn=sn}. Man könnte die Bedingung von zwei Reihenfolgen definieren fast, die überall zustimmen, wenn der Satz, in dem sie nicht zustimmen, begrenzt ist. Es würde dann zutreffend sein, daß, wenn ein Reihenfolge <r> mit <s> fast überall übereinstimmt und <s> fast überall mit <t> dann <r> übereinstimmt mit <t> fast überall übereinstimmt. Dieses würde die Grundlage für das Definieren einer äquivalenzrelation auf Realwertreihenfolgen, RN sein. Der Aufbau, der in der nichtstandardisierten Analyse für das Verursachen Infinitesimal benutzt wird, gebraucht eine andere äquivalenzrelation, aber er dient den Zweck des Erklärens der Natur von Infinitesimalen, um das oben genannte Verhältnis zu gebrauchen. Für mehr auf der wechselnden äquivalenzrelation klicken Sie hier.
Eine äquivalenzrelation verursacht äquivalenzkategorien. Im Falle der Kreation der rationalen Zahlen von den Ganzzahlen
ist eine äquivalenzkategorie, die normalerweise mit 1/2 gekennzeichnet wird. Im Falle der realen Zahlen, wie endlose Reihenfolgen der Stellen eine äquivalenzkategorie ist {1.000…, 0.999…} welches wird normalerweise dargestellt durch 1.000…
Der Satz aller Realwertreihenfolgen, die mit dem Reihenfolge <r> gleichwertig sind, wird wie bezeichnet [r]. Die Verlängerung der realen Zahlen ist der Satz dieser äquivalenzkategorien.
Hinzufügung und Vermehrung können auf diesen äquivalenzkategorien definiert werden.
Diese Ausdrücke sagen, daß die Summe der äquivalenzkategorie mit r als Mitglied und der äquivalenzkategorie mit s als Mitglied die äquivalenzkategorie der Summe von r und von S. ebenfalls für die Vermehrung ist. Es muß hergestellt werden, daß das Resultat nicht abhängt nach, welchen Mitgliedern der äquivalenzkategorien als represenatives vorgewählt wurden. Wenn dieses nicht dann zutreffend waren, würde die Hinzufügung der äquivalenzkategorien nicht gut definiert sein.
Das Bestehen der additiven Gegenteile für die äquivalenzkategorien ist einfach; d.h. ist das Gegenteil von [r] [- r]. Das multiplikative Gegenteil von [r] wird aus dem Repräsentanten der Kategorie r hergestellt, indem man die Reihenfolge s entsprechend der Richtlinie erzeugt
Jetzt r * s ist nicht genau <1, 1, 1, &ellip gleich; >: aber es ist ihm fast überall gleich. So r * s gehört der äquivalenzkategorie von <1, 1, 1, &ellip; >:. Das heißt, [r * s] = [<1, 1, 1,… >:]. So voraussetzend, daß jeder Schritt gut definiert ist, [r] * [s] = [r * s] = [<1, 1, 1,… >:], die multiplikative Identität des Systems. Folglich hat jede äquivalenzkategorie ein multiplikatives Gegenteil.
Dies heißt, daß das System der äquivalenzkategorien ein Feld ist.
Ausserdem kann eine Auftrag Relation auf diesen äquivalenzkategorien definiert werden, also ist das Feld ein bestelltes Feld. Für zwei Realwertreihenfolgen r und s
Es ist hier, daß eine hoch entwickeltere Definition von fast überall definiert werden muß. Das Annehmen auf Glauben, daß solch einer Auftrag Relation richtig dann definiert werden kann die äquivalenzkategorien der Realwertreihenfolgen, setzt eine korrekte Erweiterung des realen Zahlensystems fest. Dieses ist das Feld von hyperreal Zahlen, * R.
Ein Infinitesimal in * R ist die äquivalenzkategorie von z.B. die Reihenfolge
So ε = [< 1, 1/2, 1/3, 1/4,… >]
Diese Reihenfolge ist nirgendwo bis < 0, 0, 0,… > so ε≠0 gleich. Für jede mögliche Reihenfolge von Konstanten, Sagen < k, k, k,… > kann es hergestellt werden daß ε < < k, k, k,… >. So, egal wie kleines k ist, solange es positiv ist, ist ε kleiner als K. (der Satz der Reihenfolgen der Form < k, k, k,… > setzt den Unterbereich von * R fest, das zum realen Zahlensystem R. isomorph ist.
Wie vorher getan wurde, kann es gezeigt werden, daß die Summe von zwei Infinitesimal ein Infinitesimal ist, vielleicht das Infinitesimal null. Ebenso ist das Produkt jeder realen Zahl und des Infinitesimal ein Infinitesimal.
Das Gegenteil von ε ist die äquivalenzkategorie von
welches in Form einer endlosen Zahl, aber ist, die gleichen Eigenschaften wie eine Unbegrenztheit definiert in einem anderen mathematischen System nicht notwendigerweise, habend. Für das Momentanruf ω eine Unendlichkeit. Insbesondere ω < ω2. Aber die entscheidende Eigenschaft von Unendlichkeiten ist, daß sie multiplikative Gegenteile von Infinitesimalen sind. Im allgemeinen ist das Produkt einer Unendlichkeit und des Infinitesimal eine begrenzte reale Zahl.
Merken Sie daß der Auftrag von ω relative to, den ω2 1/ω ist, das das Infinitesimalε ist. Ebenso ist es der Fall, daß der Auftrag von relative to ε ε2 Infinitesimal ist.
Das Feld * R hat einen Satz Infinitesimalen, die infinitesimally nah an null wie einem Halo gesammelt werden. Weil * R ist unter Hinzufügung geschlossen und enthielt ein Bild von R, gibt es einen ähnlichen Halo über jede reale Zahl. (Weil die Unendlichkeiten auch Elemente von sind * R dort ist ein Halo von Infinitesimalen über jede Unendlichkeit.)
Die Elemente von * R werden in die äquivalenzkategorien verteilt, die auf der Relation des Unterscheidens durch ein Infinitesimal basieren; d.h. x und y sind in der gleichen äquivalenzkategorie, bezeichnetes x≈y, wenn x-y, ist ein Infinitesimal. Die einzelne reale Zahl in jeder äquivalenzkategorie ist die offensichtliche Wahl als Repräsentant der Kategorie.
Die Verlängerung einer Funktion, die auf den reals bis eine definiert auf den hyperreals definiert wird, ist viel einfacher, als man erwarten würde. Ein hyperreal ist eine äquivalenzkategorie Reihenfolgen der realen Zahlen. Betrachten Sie eine Funktion f:R→R. Lassen Sie x jedes hyperreal sein und lassen Sie <r>= {rn: n∈N} ist jedes mögliches Element des äquivalenzkategorie x. das heißt, x= [<r>]. Dann {f (rn): n∈N} ist eine Reihenfolge der realen Zahlen und gehört einer äquivalenzkategorie innen * R, die hyperreals. Dann die Verlängerung der Funktion f () zu den hyperreals, * f:* R→ * R, ist einfach,
Lassen Sie h [x] ist der Halo von x, die äquivalenzkategorie von hyperreals, die X. einschließt. Der Durchgang einer Funktion f an definiert * R kann jetzt ausgedrückt werden, wie folgt:
Eine Funktion f () ist am Punkt x0 wenn und nur wenn ununterbrochen
Z.B. betrachten Sie die Funktion f (x)=x2. Dann
Seit 2x * ε + ε2 ist, f (x+ε) ≈f (X) ein Infinitesimal. Folglich ist x2 für alles reale X. ununterbrochen.
Betrachten Sie jetzt die Funktion g (x)=2x. Dann g (0) =1. Dann ist g (ε) durch die generalisierte binomiale Expansion (1+1) ε=1+ε+b * ε2 für irgendein reales B. folglich g (ε) - g (0) ist ein Infinitesimal und folglich ist g (x)=2x an x=0 ununterbrochen.
Diese gleichen Resultate sind selbstverständlich auch einfach mit dem Weierstrass ε-δ Verfahren zu prüfen, aber es ist mit dem Konzept von Infinitesimalen bemerkenswertes einfacheres. Dieses führt zu einen Aspekt von, was gekommen ist, genannt zu werden die übergangsgrundregel. Da einige Resultate einfacher, in den hyperreals als in den reals zu prüfen sind, ist es angebracht, den Aufstellungsort des Beweises auf die hyperreals zu bringen. Da die hyperreals die reals enthalten, wenn etwas für alle hyperreals zutreffend ist, ist es folglich für alle reals zutreffend.
Merken Sie, daß es keine Notwendigkeit von ε2 gibt, das null ist; es muß nulleffekt auf der äquivalenzkategorie gerade haben, daß eine Summe gehört.
Die Ableitung einer Funktion f (X) an realer Nr. x ist einer realen Zahl L wenn und nur wenn für jedes ungleich Null Infinitesimalε gleich
Es gibt selbstverständlich kein Problem dort des Seins ein multiplikatives Gegenteil für ein ungleich Nullε. Nehmen Sie das einfache Beispiel von f (x)=x2 wieder.
Wenn eine Funktion f () bekannt, um ein abgeleitetes f'(x) an x zu haben dann die Aussage
ist eine Aussage über Äquivalenzkategorien.
Sehen Sie drei Annäherungen zur Integration.
(Fortgefahren werden.)
Um die korrekte äquivalenzrelation zu definieren ist es notwendig das Konzept der Filter und der Spulenketten zu betrachten. Ein Filter F ist eine Ansammlung Teilmengen eines Satzes S so, daß, wenn A und B S dann der Durchschnitt von A gehören und B auch F.A Filter erfordert ausserdem gehört, daß, wenn A F dann gehört, alle Supersets von A F. gehören, das eine Spulenkette U ein Filter so ist, daß für jede mögliche Teilmenge A von S, entweder A U oder die Ergänzung von A in S gehört, Ac= (S-A), U gehört (aber nicht beiden).
Die äquivalenzrelation auf dem Satz von Realwertreihenfolgen, der relevant ist, basiert nach einer nicht-Hauptspulenkette auf den Realwertreihenfolgen. (Nonprincipal bedeutet, daß die Spulenkette nicht durch nur ein einzelnes Element. erzeugt wird), sind zwei Reihenfolgen, <r> und <s>, gleichwertiges Modulo die Freund-Feind-Kennung der Spulenkette U
Quellen:
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