| 附属程序magic.com Thayer Watkins 硅谷 &龙卷风路 美国 |
|---|
|
|
当艾萨克・牛顿和Gottfried Wilhelm Leibniz首先被公式化的微分学他们利用了概念的无穷小; 即，数量很小虽然它不是零它的正方形和更大的功率是零。 实数不可能有那物产。 然而研究员发现了无穷小的概念有用均匀根本为开发微分学。 在19世纪末期德国数学家卡尔Weierstrauss介绍了为微积分提供一个严谨依据并且数学辅导员从使用无穷小的概念尔后劝阻学生的ε三角洲过程。 然而有保持infinitesimals舒适的胡话活的很大数量的顽抗的人。
在1960亚伯拉罕・鲁宾逊然后发现了一个方式为infinitesimals提供严谨基础并且因而infinitesimals再不确切地是可接受的在欢迎在数学演讲再次。 鲁宾逊称他的公式化非标准分析。 这材料的目的将解释，说明和辩解infinitesimals的非标准分析公式化。 这要求一些mathematical基础回顾。
一个数学领域是集合并且在那的元素定义的二操作设置，认为(S， +， *)。 第一操作， +， (叫加法)是这样：
这些情况共计(S， +)是能成立可换定律小组。
第二操作， *， (叫增殖)是这样：
领域的一个例子是有理数Q。 有理数通常表示作为b≠0，但深砍/是仅仅象征性的a/b。 他们可能表示作为被命令的对(a， b)。 但k * a/k * b是和一样a/b.加法和增殖被定义的元素。 叠加性身分是0/1并且乘身分是1/1。 a/b添加剂反面是- a/b。 a/b乘反面为a≠0是b/a。
领域的另一个例子是实数R以加法和增殖的通常定义。 一个实数大致对应于数字无限串。 这不精确地是书信因为1.999…是实数和2.0000一样… 为一个更加完全的故事看实数系统在实数系统的逻辑基础。
一个新的领域可以从一个知道的领域被创造由什么的过程称“毗邻一个元素对领域”。 例如，套形式p+q√2的元素， p和q是有理数是一个新的领域。 加法的定义(p1+q1√2)与(p2+q2√2)是[(p1+p2) + (q1+q2) √2]。 p1+q1√2乘产品的定义与p2+q2√2是(p1p2+2q1q2) + (p1q2+p2q1) √2。 叠加性相反和乘反面容易地被定义。
复杂形势经常被重视作为毗邻创造的reals的引伸虚构的元素i， i2=-1的地方。
毗邻一个元素这个做法对领域是解释领域的引伸一个标准方式，但有某事对似乎疑神疑鬼的此。 清楚地，当它首先被公式化了，由于为它基本的单位选择的命名虚构，复杂形势的创作提出了一些疑义和怀疑。 毗邻元素的过程似乎假设也许有对它的存在的可观的疑义事的存在。 和在问题之下将显示以毗邻的过程毗邻元素仅仅是事情它怎样解释。
在进行之前关于√2的几评论是$$4有序。 我们说x2=2根是√2并且现在辨认它与1.41214…，但考虑时候当知道的最一般的领域是有理数。 希腊人能证明， √2不可能是一个有理数。 那时将看起来假设对x2=2的一种解答congering不可能的个体。 没有阿拉伯(印第安)记法为希腊人没办法代表√2作为任何东西象1.414214…的数字 今天与实数的模型根本上是数字无穷序列作为一个模型为实数我们不可能明确地写√2的价值。 我们可以给我们渴望的任何程度略计写√2但我们不可能给√2全部。 然而解答的附益对x2=2的创造一个领域引伸为有理数。
然而一个领域的引伸的创作使用形式a+bγ的惯例不是必要的。 什么真正地介入与这样领域引伸是被命令的对有理数被考虑以加法和增殖的室外操作的新的定义。 也就是说，一个新的领域被定义根据套被命令的对(p， q)并且加法(p1， q1)和(p2， q2)是(p1+p2， q1+q2)。 增殖(p1， q1)和(p2， q2)是((p1p2+2q1q2)， (p1q2+p2q1)) 以这些定义产品(0,1) * (0,1)与(2,0) =2 (1,0)是相等的。 因而(0,1)是解答到等式x2=2。
同样有一个相似的方法为引起复杂形势。 简单地认为一个复杂形势一个被命令的对实数以(a， b)与(c， d)将被定义的增殖和(acbd， ad+bc)。 因而(0,1) * (0,1) = (- 1,0) = (1,0)如此(0,1) 2=- (1,0)并且(0,1)是方根- 1。
考虑整数的领域的引伸到有理数。 如果我们寻求解决对等式bx=a (等效地bx-a=0)领域引伸是被命令的对整数(a， b)。 在这延长的领域a= (a， 1)和b= (b， 1)。 增殖(p， q)和(r， s)给(pr， qs)。 因而如果x= (a， b)然后bx= (b， 1) (a， b) = (ba， b) = (a， 1) =a.因而(a， b)是解答到等式bx=a。 加法(p， q)与(r， s)有更加复杂的惯例((ps+rq)， qs)。
笔记为每一个个这些个例子，有是同构的对原始的领域领域extentions的子体。 在p+q√2情况下子体为所有元素这样q=0。 为复杂形势a+b√ (- 1)子体是所有数字这样b=0。 为整数的引伸到有理数(a/b)子体是有理数这样b=1。 为领域的所有引伸必须有是同构的对原始的领域延长的领域的某一子体。
被申请于这个过程的另一规定创造分数的领域。 用于这规定描述一个领域的创作从圆环的更加一般的结构，一个结构象领域但有乘反面为它的元素。
波兰人数学家Mikusinski使用集合S是作用的这建筑开发了数学的一个有趣的领域并且增殖是卷积。
为更多在领域引伸看Galois理论。
注意毗邻一个元素的这个过程什么都对领域不告诉我们关于个体例如√2或i=√ (- 1); 它给我们有一个元素满足定义的条件为个体的一个领域。 当然可以用于过程创造扩展域从有一种解答对x2=3或x2=5等等的有理数。 (实际上为任何多项等式根。)
Leibniz和微积分的早期开发商考虑了定义的条件为一无穷小的ε作为是ε≠0和ε2=0。
身分为增殖是(1,0)。 问题进来发现一个乘反面为每个元素除之外(0,0)。 特别是，什么乘反面可能是(0,1) ？ -->
称有差别的形式的数学区域建立差别正方形是零的一个系统。
在条件之上为无穷小没有需要的它在非标准分析结果那这。 非标准分析提供一个方式对领域扩大实数域，称个体存在有infinitesimals根本物产的hyperreals。 但一个引伸对一个新的领域要求每个非零元素有一个乘反面。 这意味着非零无穷小的必需有一个反元素。 无限地小个体的反面必须是无限地大个体。 因为正面infinitesimals比所有正面实数适当的数量为一个乘反面是大于任何不是实数但均等到无限的个体认为非零个体较少，有点儿无限量。 跟上infinitesimals的概念化，无限量是数字个体很大而它不是无限的它的正方形是。
领域被定购如果命令可以被定义这样为集合a和b的任何二个元素， a>b、a=b或者b>a.为二个有理数a/b和c/d他们的顺序取决于广告BC的标志; 即，如果ad-bc>0然后(a/b) > (c/d)等等。
除表达的情况之外以上，叫trichotomy情况，次序关系必须满足以下条件：
为一些目的运用次序关系≥是方便。 在这种公式化a和b的平等意味a≥b和b≥a。
有序域是完全的如果有一个最高界面关于次序关系在领域的每一个它非空的子集有最少最高界面关于那次序关系。
当有许多不同的领域时，只根本上有一完全有序域，实数，在感觉所有完全有序域是同构的到实数。
有定理那阐明，领域可以由一个多项等式的根扩大。 如果定义无穷小的情况可能陈述作为一个多项等式修建无穷小的过程是容易。 情况是更加复杂的。 一无穷小的ε，如例如由Jerome Keisler定义在他的微积分的基础，是这样为所有正面真正的r， |ε| < r.这包括零作为无穷小，唯一的实数无穷小。
从这个定义因而断定如果ε和δ是infinitesimals然后ε+δ也是无穷小的，可能调零。 考虑所有真正的正面r。 然后 |ε|<r/2因为r/2是一个正面实数。 同样 |δ|<r/2。 所以 |ε+δ|同样<r. ε * δ是无穷小的，可能调零。 再证明是考虑所有正面实数r。 然后 |ε| 并且 |δ| 比√r是较少和结果 |ε * δ|<r.此外sε为所有有限真正的s是无穷小的。 考虑所有正面真正的r.如果 |s|然后≤1 |sε|≤|ε|<r.如果 |s|然后>1 |ε|<r/|s| 如此 |sε|<r.
Keisler发现了它方便给一个等效定义(为正面infinitesimals)
为所有正面整数。
注意在Keisler的公式化它不是确切有所有方式建立任何二infinitesimals产品是零，被认为到牌子概念有用的情况。
首先考虑RN，套real-valued序列; 即， <r1， r2， r3，… >。 适当的记法为这样序列是< rn ： n∈N>。 二个这样的序列总和和产品被定义用明显的方式：
有一个叠加性身分; 即， < 0， 0， 0，… >。 有叠加性反面; 即，添加剂反面< rn ： n∈N>是< - rn ： n∈N>。
有一个乘身分; 即， < 1， 1， 1，… >，但那里是没有乘反面为包含一甚而0的所有序列。 介入这些real-valued序列的领域的因此建筑必须采取改道。
认为套索引n的价值这样二个序列组分是相等的; 即， {n ∈ N ： rn=sn}。 你可能定义同意几乎到处如果的二个序列的条件他们不同意的集合是有限的。 它然后是真实的如果序列<r>与<s>一致几乎到处并且<s>几乎到处与<t> <r>一致然后同意<t>几乎到处。 这是为定义一个等价关系的依据在real-valued序列， RN。 用于非标准分析的建筑为创造无穷小利用一个不同的等价关系，但它符合解释infinitesimals的本质的需要利用上述关系。 为更多在供选择等价关系这里点击。
一个等价关系创造相等类。 在有理数的创作情况下从整数
是通常被辨认与1/2的相等类。 在实数情况下数字无穷序列一相等类{1.000…， 0.999…} 哪些由1.000通常代表…
与序列<r>是等效的套所有real-valued序列表示和[r]。 实数的引伸是套这些相等类。
加法和增殖在这些相等类可以被定义。
这些表示认为相等类与r作为成员和相等类的总和以s作为成员同样是r和s.的总和的相等类为增殖。 必须建立它结果不取决于相等类的哪些成员被选择了作为representatives。 如果这不是真实的那么相等类的加法不是明确定义的。
叠加性反面的存在为相等类是简单的; 即，反面[r]是[- r]。 乘反面[r]从类被修建r的代表通过引起序列s根据规则
现在r * s与<1不会确切地是相等的， 1， 1， … > ： 但它与它将是相等的几乎到处。 因而r * s属于<1相等类， 1， 1， … > ：。 换句话说， [r * s] = [<1， 1， 1，… > ：]。 因此，提供每步是明确定义的， [r] * [s] = [r * s] = [<1， 1， 1，… > ：]，系统的乘身分。 所以每相等类有一个乘反面。
这意味着相等类系统是领域。
此外次序关系在这些相等类可以被定义因此领域是有序域。 为二个real-valued序列r和s
这里是一个更加老练的定义几乎到处必须被定义。 接受在信念这样次序关系可以然后适当地被定义real-valued序列的相等类构成实数系统的一个适当的引伸。 这是hyperreal数字的领域， * R。
一无穷小在* R是相等类例如，序列
因而ε = [< 1， 1/2， 1/3， 1/4，… >]
这个序列是无处相等的到< 0， 0， 0，… >如此ε≠0。 为常数所有序列，言< k， k， k，… >它可以建立ε < < k， k， k，… >。 因而无论小k是，只要它是正面的， ε比k.是较少(套形式< k的序列， k， k，… >构成是同构的对实数系统R. * R的子体。
和早先做了，它可以显示总和的二无穷小是无穷小的，可能零无穷小。 同样产品所有实数和无穷小是无穷小的。
ε反面是相等类
哪些是必然一个无限数字，但不必要有物产和被定义的无限一样在另一个数学系统。 临时电话ω无限量。 特别是， ω < ω2。 但无限量关键的物产是他们是infinitesimals乘反面。 一般来说，产品无限量和无穷小是一个有限实数。
注意ω2是1/ω，是无穷小的ε ω的定货相对。 同样它是实际情形ε2相对ε定货是无穷小的。
领域* R有一套infinitesimals成群无穷小近零象光晕。 由于* R是闭合的在加法之下并且包含了R的图象，有一个相似的光晕关于每个实数。 (由于无限量也是元素*那里R是infinitesimals光晕关于每无限量。)
元素* R被分成入根据不同的联系的相等类由无穷小; 即， x和y在同一相等类，表示的x≈y，如果X - Y是无穷小的。 唯一实数在每相等类是明显的选择作为类的代表。
在hyperreals定义在reals到一个定义的作用的引伸比你将期望容易。 hyperreal是实数序列相等类。 考虑一个作用f ：R→R.让x所有hyperreal并且让<r>= {rn ： 换句话说， n∈N}是相等类X. x= [<r>的]所有元素。 然后{f (rn) ： n∈N}是实数序列并且属于相等类* R， hyperreals。 然后作用f的引伸()对hyperreals， * f ：* R→ * R，简单地是，
让h [x]是x光晕，包括x. hyperreals的相等类。 f的被定义的连续性作用* R可能现在被表达如下：
作用f ()是连续的在点x0如果和仅当
例如，考虑作用f (x)=x2。 然后
从2x * ε + ε2是一无穷小的， f (x+ε) ≈f (x)。 所以x2为所有真正的x.是连续的。
现在考虑作用g (x)=2x。 然后g (0) =1。 然后g (ε)由广义二项式扩展是(1+1) ε=1+ε+b *所以ε2为某一真正的b. g (ε) - g (0)是无穷小的并且g (x)=2x是连续的在x=0。
当然这些同样结果也是容易证明使用Weierstrass ε-δ做法但它是著名更加容易使用infinitesimals的概念。 这导致什么的方面来称调动原则。 因为有些结果是更加容易证明在hyperreals比在reals转移证明的站点到hyperreals是适当的。 因为hyperreals包含reals如果某事对所有hyperreals是真实的因此它对所有reals是真实的。
注意没有ε2必要是零; 它在相等类必须有零的作用总和属于。
作用f (x)的衍生物在实数x与一个实数L是相等的如果和仅当为所有非零无穷小的ε
当然没有问题的那里是一个乘反面为一非零ε。 再采取f (x)=x2的简单例子。
如果作用f ()被知道有一衍生物f'(x)在x然后声明
是一个声明关于相等类。
看三种方法到综合化。
(将继续。)
定义适当的等价关系考虑过滤器和高度精密过滤器的概念是必要的。 过滤器F是集合S的子集的一件收藏品这样如果此外A和B属于S然后A和B的交叉点也属于F.A过滤器要求如果A属于F然后A所有超集属于高度精密过滤器U是过滤器这样的F.为S的所有子集A， A在S属于U或A的补全， Ac= (S-A)，属于U (但不是两个)。
等价关系在是相关的套real-valued序列根据一个非主要高度精密过滤器real-valued序列。 (Nonprincipal意味着高度精密过滤器没有引起的是由仅一个唯一元素。)二个序列， <r>和<s>，是等效模数高度精密过滤器U iff
来源：
|
Thayer Watkins主页 |
