A análise de Input-output é um de um jogo dos métodos relacionados que mostram como as partes de um sistema são afetadas por uma mudança em uma porção desse sistema. A análise de Input-output mostra especificamente como as indústrias são ligadas junto através das entradas fornecendo para a saída de uma economia. Suponha que há somente duas indústrias produzindo o carvão e o aço. O carvão é requerido para produzir o aço e alguma quantidade de aço no formulário das ferramentas é requerida para produzir o carvão. Suponha que para input exigências por a saída da tonelada dos dois produtos seja:

Suponha que desejou que o produto da indústria de carvão uma saída líquida de 200.000 toneladas do carvão e da indústria de aço um ouputput líquido de 50.000 toneladas. Se a indústria de carvão produzir apenas 200.000 toneladas e a indústria de aço produzem 50.000 toneladas que algumas das saídas são usadas acima em produzir a outra saída. Produzir 50.000 toneladas do aço requer 3 (toneladas 50.000) =150,000 do carvão. Do mesmo modo a produção de 200.000 toneladas do carvão requer (0.1) (as toneladas 200.000) =20,000 do aço. As saídas líquidas do carvão e do aço seriam então as toneladas 200,000-150,000=50,000 do carvão e as toneladas 50,000-20,000=30,000 do aço. Ou seja a fim começar as saídas líquidas de 50.000 toneladas do carvão e de 30.000 toneladas do aço é necessário produzir 200.000 toneladas do carvão e 50.000 toneladas do aço. Mas nós queremos as saídas líquidas de 200.000 toneladas do carvão e de 50.000 toneladas do aço. Nós teríamos que pelo menos produzir uma quantidade adicional para substituir o carvão e o aço usados acima em produzir 200.000 toneladas do carvão e 50.000 toneladas do aço. Aquelas quantidades, como nós vimos acima, são 150.000 toneladas do carvão e 20.000 toneladas do aço. Mas em produzir estes atingem nós usar-se-ão também acima do carvão e do aço. No fato, nós usar-nos-emos acima de 3 (toneladas 20.000) =60,000 do carvão e (0.1) (de toneladas 150.000) =15,000 do aço. Assim nós devemos aumentar a produção outra vez para cobrir estas quantidades.

Nós podemos pensar destes aumentos da produção como círculos da produção. Em 1 redondo nós produzimos as saídas que líquidas nós estamos tentando conseguir. Em 2 redondos nós produzimos as saídas que foram usadas acima em produzir em volta das saídas 1. Então em 3 redondos nós produzimos as saídas usadas acima em produzir em volta de 2, e assim por diante. As figuras são dadas na seguinte tabela.

Os totais para os primeiros nove círculos são 497.570 toneladas do carvão e 99.595 toneladas do aço. Este aproximado quanto nós devemos produzir para conseguir as saídas líquidas nós procuramos. As quantidades exatas, encontradas por uns métodos mais avançados, são 500.000 toneladas do carvão e 100.000 toneladas do aço. Nós vemos que 3 (toneladas 100.000) =300,000 do carvão estão usadas acima em produzir as 100.000 toneladas do aço que deixam as toneladas 500,000-300,000=200,000 do carvão como a saída líquida. (0.1) (as toneladas 500.000) =50,000 do aço são usadas também acima em produzir as 500.000 toneladas do carvão que deixam nos com as toneladas 100,000-50,000=50,000 do aço como a saída líquida.

Nós encontramos as figuras exatas resolvendo duas equações algébricas. Se x1 for a saída do carvão e x2 for a saída do aço, a seguir as circunstâncias que têm que ser satisfeitas são:

x₁ - 3x₂ = 200,000
x₂ - 0.1x₁ = 50,000.
 

Este é um jogo de duas equações em dois unknows e nós podemos resolvê-lo que usa a álgebra simples.

Uma maneira sistemática resolver para ajustado das saídas líquidas é encontrar quanto carvão e aço é needed produzir uma saída líquida de uma tonelada do carvão. As equações que têm que ser satisfeitas são:

x₁ - 3x₂ = 1
x₂ - 0.1x₁ = 0.
 

A solução é x1=1.42857 e x2=0.14286. Para começar as quantidades necessárias produzir uma saída líquida de 200.000 toneladas nós multiplicamos estas figuras por 200.000. As saídas requeridas são 285.714 toneladas do carvão e 28.571 toneladas do aço.

Para uma saída líquida de uma tonelada do aço as equações a ser satisfeitas são:

x₁ - 3x₂ = 0
x₂ - 0.1x₁ = 1.
 

A solução é x1=4.28571 e x2=1.42857. Para começar as quantidades necessárias produzir uma saída líquida de 50.000 toneladas do aço nós multiplicamos estas figuras por 50.000. Nós começamos uma saída de um carvão de 214.286 toneladas e de 71.429 toneladas do aço. As saídas totais requeridas para 200.000 toneladas do carvão e 50.000 toneladas do aço são então

285,714 + 214,286 = 500,000 tons of coal and
 
28,571 + 71,429 = 100,000 tons of steel.
 

As saídas do carvão e do aço requeridos para conseguir uma saída líquida de uma tonelada do carvão podem ser consideradas as exigências diretas e indiretas para uma tonelada do carvão. Do mesmo modo para as saídas necessárias para uma saída líquida de uma tonelada do aço. Estes podem ser unidos em uma tabela para contrastá-los com as exigências diretas da produção:

Aproximadamente a tabela é essa que dá a maioria de informação sobre como as indústrias são inter-relataed.

As exigências diretas e indiretas são geralmente operações determinadas da matriz usando-se. Uma matriz é simplesmente uma disposição retangular dos números; isto é, uma tabela. Uma matriz é caracterizada pelo número das fileiras e das colunas. Um n pela matriz de m, escrita o n×m, é uma matriz com fileiras de n e colunas de m. Uma matriz com a somente uma coluna é chamada também um vetor da coluna. Se uma matriz tiver somente uma fileira está chamado geralmente um vetor da fileira.

O elemento da matriz A que está na fileira do eu-th e coluna do j-th é denotado como o Ai_{, J.} A adição de duas matrizes A e B com o mesmo número das fileiras e das colunas é definida como a matriz C tais que o Ci_{, j=Ai, j+Bi,} subtração do _{J. das} matrizes está definido em uma maneira analogous.

A definição da multiplicação das matrizes que é útil não é a multiplicação de elementos correspondentes. Instead a multiplicação é definida somente para as matrizes que têm o número apropriado das fileiras e das colunas; isto é, o número das fileiras da segunda matriz tem que ser igual ao número de colunas da primeira matriz. Se A for uma matriz do n×m e um B são matriz do ×p do A.M. seu produto AB é definido então que para ser uma matriz C do n×p tais que

C_i,j = ΣA_i,kB_k,j
 

onde a soma é k=1 excedente a k=m.

Os níveis da produção do carvão e das indústrias de aço podem ser representados como uma matriz 2×1 (um vetor da coluna) X onde

X	=	| x1 |
		| x2 |

 

Do mesmo modo os níveis da saída líquida requeridos para ser encontrado com, chamados geralmente demandas do final, f1 e f2 podem ser representados como um vetor da coluna (2×1 matriz) F onde

F	=	| f1 |
		| f2 |

 

As exigências diretas por unidades da saída para uma economia com duas indústrias podem ser representam como 2×2 uma matriz A; isto é,

A	=	| A1,1	A1,2 |
		| A2,1	A2,2 |

 

Para o carvão/economia de aço acima

A	=	| 0	3 |
		| 0.1	0 |

 

As quantidades de produção usadas acima em produzir x1 e x2 são iguais a

A_1,1x₁ + A_1,2x₂
A_2,1x₁ + A_2,2x₂
 

Isto é justo o produto da matriz A e da matriz X; isto é, MACHADO. Os níveis da produção são dados por X assim que as produções líquidas após as quantidades usadas acima na produção são deduzidas são dadas perto

X - AX
 

Nós queremos este ser igual aos níveis requeridos F assim que as equações a ser satisfeitas estão, no formulário da matriz,

X - AX = F
 

Neste momento é necessário anotar que há um tipo especial de matrizes quadradas, chamado as matrizes da identidade e denotado como I, que consistem em 1 ' s na diagonal que funciona da parte superior à esquerda ao direita mais baixo e a 0 ' s em toda parte mais. A matriz da identidade 2×2 é

I	=	| 1	0 |
		| 0	1 |

 

O virtue das matrizes da identidade é que o produto de uma matriz da identidade com toda a outra matriz para que o produto for definido é justo a outra matriz. No detalhe, IX são X. justo. Gira para fora que é frequentemente útil representar uma matriz como um produto com a matriz da identidade. As equações a ser satisfeitas pelos níveis da saída estão, no formulário da matriz,

X - AX = F
qual pode ser expressado como
IX - AX = F
 

A vantagem desta segunda respresentação é que pode ser fatorada; isto é,

IX - AX = (I-A)X
assim as equações da matriz
a ser satisfeitas são is
(I-A)X = F
 

Para o carvão/economia de aço acima

I-A	=	| 1	-3 |
		| -0.1	1 |

 

A solução a esta equação envolveria realizar alguma operação algébrica assim que nós terminamos acima com o X que é igual a alguma matriz. Geralmente o problema que nós enfrentamos é que nós temos uma equação BX=C da matriz e nós queremos terminar acima com X=something. Suponha que nós poderíamos encontrar uma matriz especial D tais que DB=I. Então nós poderíamos multiplicar ambos os lados da igualdade BX=C da matriz para começar DBX=DC. Desde que DB=I que isto significa que nós teríamos IX=DC, mas IX são o mesmo como X assim que nós temos a solução às equações como X=DC. A matriz especial D tais que DB=I está chamado o inverse de B e ele é denotada como B-1. Assim a solução à equação BX=C da matriz é X=B-1C. O único problema em encontrar uma solução a BX=C está encontrando B-1.

Neste momento nós não sabemos mesmo se tal matriz existir. Gira para fora que há um teste simples para determinar se um inverse existe. O teste é baseado na determinante da matriz. Se a determinante não for igual a zero então um inverse existe e se a determinante for igual a zero então um inverse não existe. Para 2×2 uma matriz B a determinante de B é

det(B) = B_1,1B_2,2 - B_1,2B_2,1
 

Para uma matriz 2×2 a determinação do inverse é muito simples mas não é como simples para matrizes de uma ordem mais elevada. para começar ao inverse 2×2 de uma matriz B nós apenas intercambiamos B1,1 e B2,2 e mudamos os sinais de B1,2 e de B2,1 e dividimos então todos os elementos da matriz resultante pelo det (B); isto é,

B-1	=	| B2,2/det(B)	-B1,2/det(B) |
		| -B2,1/det(B)	B1,1/det(B) |

 

Para o carvão/economia de aço acima do (I-A) era

I-A	=	| 1	-3 |
		| -0.1	1 |

 

assim determinante é (1) (1) - (- 3) (- 0.1) =1-0.3=0.7. Assim tem um inverse e esse inverse é

(I-A)-1	=	(1/0.7)| 1	3 |
		| 0.1	1 |

 

ou, realizando a divisão indicada,

(I-A)-1	=	|  1.4286	4.2857 |
		| 0.1429	1.4286 |

 

Quando nós multiplicarmos tempos desta matriz o vetor das demandas finais F, onde

F	=	| 200,000 |
		|  50,000 |

 

nós começamos a solução

X	=	| 500,000 |
		| 100,000 |

 

Na conclusão, as exigências diretas e indiretas por a unidade de demandas finais são dadas pelas colunas do inverse da matriz I-A; isto é, (I-A) ^{- 1}.

Para o carvão/economia de aço o inverse de (I-A)

(I-A)-1	=	|  1.4286	4.2857 |
		| 0.1429	1.4286 |

 

diz-nos isso para cada tonelada da demanda final para o carvão que a economia tem que produzir 1.4286 toneladas do carvão e 0.1429 toneladas do aço. Para cada tonelada da demanda final para o aço a economia tem que produzir 4.2857 toneladas do carvão e 1.4286 toneladas do aço.

Interação Interregional e internacional
Usando os métodos da análise de Input-Output

A análise de Input-Output levantou-se para tratar do problema da demanda interindustry, mas o mesmo método pode ser usado mostrar como as mudanças em uma região afetam as economias das regiões ligadas a ela. Suponha que nós temos a informação como as mudanças na produção em condados de Santa Clara e de Santa Cruz afetam a demanda para cada um - em outra saída. (Condado de Santa Clara é essencialmente o vale de silicone famed e o condado de Santa Cruz é um condado ao sul dele sobre as montanhas de Santa Cruz e na baía de Monterey do oceano pacífico.) se a produção em aumentos do condado de Santa Clara lá for mais renda não somente para residentes do condado de Santa Clara mas também para os residentes do condado de Santa Cruz porque alguns dos trabalhos no condado de Santa Clara irã0 aos residentes do condado de Santa Cruz. Os residentes de ambos os condados decidir-se-ão quanto de sua renda gastarão, onde, e para que. Alguma dessa despesa estará nos dois condados e será para os bens e os serviços que são produzidos localmente. Do mesmo modo quando a produção em Santa Cruz que o condado aumenta alguns dos trabalhos irá aos residentes do condado de Santa Clara e alguma destes gastará sua renda no condado de Santa Cruz as well as no condado de Santa Clara. Suponha que nós temos essa informação no formulário da matriz:

Isto é como uma matriz de propensities marginais a consome na teoria macroeconomic. Na teoria macroeconomic se a renda for gastada para produtos fora da economia considera-se um escapamento. Neste ajuste regional alguns destes escapamentos escapam para trás na economia.

A matriz acima corresponde à matriz A na análise de input-output.

Na teoria macroeconomic o multiplicador da renda k é igual a:

1/(1-c)
 

a onde c é o propensity marginal consuma.

Isto podia ser escrito como:

k = (1-c)^-1.
 

Com a interação regional há uma matriz dos multiplicadores e a matriz é igual a:

(I-A)^-1.
 

Para a matriz acima a matriz I-A é:

A determinante de I-A é (0.5) (0.6) - (- 0.1) (- 0.2) =0.30-0.02=0.28.

Isto significa que a matriz I-A tem um inverse. Recorde que para uma matriz 2x2 o inverse está encontrado intercambiando os elementos diagonais e mudando o sinal dos elementos fora-diagonais, dividindo então cada elemento pela determinante. Isto dá:

Isto significa que quando a demanda para a saída do condado de Santa Clara aumenta por $1 a saída no condado de Santa Clara aumenta por $2.14 e no condado de Santa Cruz por $0.71. Na uma mão, se a demanda para a saída do condado de Santa Cruz aumentar por $1 output então em aumentos do condado de Santa Cruz por $1.79 e no condado de Santa Clara por $0.36.

As mostras acima como uma vez que a matriz A é sabida como os inter-relationships entre as peças estão determinados no formulário do inverse da matriz (I-A). Assim uma vez que A é determinado o descanso é computação meramente numérica. Mas a matriz A primeiramente tem que ser estabelecida. A derivação da matriz A envolve diversos processos econômicos. Primeiramente, há a distribuição de renda (e de trabalhos) aos subregions. Isto é dado no formulário de uma matriz que seja chamada a matriz J (para trabalhos). Suponha que J tem o seguinte valor:

Isto diz que 75% dos trabalhos e da renda vão aos residentes do condado de Santa Clara e 25% vão aos residentes do condado de Santa Cruz. Na uma mão, 20% dos trabalhos e a renda no condado de Santa Cruz vão aos residentes do condado de Santa Clara e ao outro 80% aos residentes do condado de Santa Cruz.

Mas não todo o dólar da produção vai para a renda labor. Deixe-nos dizer que em ambos os condados um third do rendimento vai para a renda labor. Isto significa que o efeito de dólares adicionais da produção teria os seguintes efeitos em rendas. Esta é a matriz Y (para a renda).

Há também a matriz que diz onde os povos gastam seu dinheiro e quanto dele vai para a produção local. Esta é a matriz S (para a despesa).

Isto diz que aquele quando os residentes de Santa Clara começam um outro dólar da renda 80% está gastado no condado de Santa Clara e em um outro 10% está gastado no condado de Santa Cruz. Na uma mão, quando os residentes de Santa Cruz começam um outro dólar da renda 30% é gastado no condado de Santa Clara e 60% no repouso no condado de Santa Cruz. em casos toda a despesa vai para os bens ou os serviços que são produzidos no condado da despesa.

Anote que a orientação desta tabela é oposto das tabelas precedentes.

Para construir a matriz A nós temos que seguir um dólar da produção a seu dispursement como a renda aos dois condados e o alocamento dos receptores que gastam entre os dois condados. Esta ilustração está indo sair para fora de diversos outros processos econômicos importantes tais quanto da renda labor vai para impostos, economias e importações. Estas omissões são manter o detalhe a um mínimo.

De acordo com a matriz J, quando um dólar da produção é produzido no condado de Santa Clara, $0.25 vão aos residentes do condado de Santa Clara que gastam 80% dele no condado de Santa Clara e $0.083 vão aos residentes do condado de Santa Cruz que gastam 30% dele no condado de Santa Clara. Completamente então a $1 da produção no condado de Santa Clara conduz a (0.25) (.8) + (0.083) (.3) =0.225 da demanda de consumidor da adição no condado de Santa Clara. Este é o elemento na primeira fileira, primeira coluna da matriz A. O dólar da produção adicional conduz também à demanda aumentada no condado de Santa Cruz; isto é. (0.25) (0.1) + (0.083) (.6) =0.075. Este é o elemento na segunda fileira, primeira coluna do A.

Quando um dólar adicional da produção ocorre no condado de Santa Cruz a despesa adicional no condado de Santa Clara é (0.063) (0.8) + (0.267) (.3) =0.131, o elemento da matriz na primeira fileira, segunda coluna de A. O elemento final é a despesa no condado de Santa Cruz resultando de um dólar adicional da produção no condado de Santa Cruz. Isto é (0.63) (0.1) + (0.267) (0.6) =0.167. Assim a matriz de A é

(I-A) é então

A determinante desta matriz é 0.6365, assim lá é um inverse. Esse inverse é

Isto diz que quando há um dólar adicional da demanda na produção do condado de Santa Clara vai acima por $1.31 no condado de Santa Clara e por aproximadamente $0.12 no condado de Santa Cruz. Na uma mão, quando a demanda no aumento do condado de Santa Cruz por uma produção do dólar no condado de Sanat Clara aumentar por aproximadamente $0.21 e por aproximadamente $1.22 no condado de Santa Cruz. Mas estas são aumentos nas vendas e na produção melhor que renda.

Os aumentos na renda são encontrados determinando a proporção da produção que vai à renda (um terceira neste exemplo) e que distribui então a de acordo com a matriz de J. O resultado desta computação para a renda do condado de Santa Clara devido a um aumento na produção de Santa Clara é (1/3) (1.3102) (0.75) + (1/3) (0.1178) (0.20) =0.335. Os resultados da computação são então

(Para ser continuado.)