يتضمّن تغيرات في متغير مثل [ستوك بريس] عنصر حتميّة أيّ يكون وظيفة من وقت وعنصر تصادفيّة أيّ يعتمد على متغير عشوائيّة. تركت [س] كنت ال [ستوك بريس] في وقت [ت] وتركت [دس] كنت التغير المتناه صغر في [س] على الفاصلة المتناه صغر من وقت [دت]. التغير في المتغير العشوائيّة [ز] على هذا فاصلة الوقت [دز]. أعطيت التغير في [ستوك بريس] جانبا

(1)

dS = adt + bdz,
 

حيث [ا] و [ب] قدت كنت أعمال من [س] و [ت] [أس ولّ س] أخرى متغيرات ؛ [إي.] ،
[دس]=[ا] ([س] ، [ت] ، [إكس]) [دتب] ([س] ، [ت] ، [إكس]) [دز].

ال يتوقّع قيمة ال [دز] صفر لذلك ال يتوقّع قيمة ال [دس] يتماثل إلى العنصر الحتميّة ، [أدت].

العشوائيّة متغير يمثّل [دز] تراكم من تأثيرات عشوائيّة على الفاصلة [دت]. يتضمّن ال [سنترل ليميت ثيورم] بعد ذلك أنّ [دز] يتلقّى [نورمل ديستريبوأيشن] وبالتّالي تماما ميّزت ب ه متوسّطة و [ستندرد دفيأيشن]. الوسيلة أو يتوقّع قيمة ال [دز] صفر. التباين من متغير عشوائيّة أيّ يكون التراكم من تأثيرات مستقلّة على فاصلة الوقت متناسبة إلى الطول من الفاصلة ، [إين ثيس كس] [دت]. ال [ستندرد دفيأيشن] ال [دز] لذلك متناسبة إلى ال [سقور رووت] ال [دت] ، ([دت]) ½. يعني كلّ من هذا أنّ العشوائيّة متغير [دز] معادلة إلى عشوائيّة متغير ث ([دت]) ½ ، حيث ث يكون متغير معياريّة عاديّة مع وسيلة صفرة و [ستندرد دفيأيشن] يتماثل إلى وحدة.

الآن اعتبرت آخر [ك] متغيّرة ، مثل السعر من [كلّ وبأيشن] ، أيّ يكون عمل من [س] و [ت] ، رأي [ك]=[ف] ([س] ، [ت]). لأنّ [ك] يكون عمل من المتغير التصادفيّة [س] ، سيتلقّى [ك] عنصر تصادفيّة [أس ولّ س] عنصر حتميّة. [ك] سيتناول تمثيل من الشكل:

(2)

dC = pdt + qdz.
 

حيث [ب] و [ق] قدت كنت أعمال من [س] ، [ت] ومن المحتمل أخرى متغيرات ؛ [إي.] ، [بب] ([س] ، [ت] ، [إكس]) و [قق] ([س] ، [ت] ، [إكس]).

المشكلة الحاسمة كيف الأعمال [ب] و [ق] يكون ارتبطت إلى الأعمال [ا] و [ب] في المعادلة

(3)

dS = adt + bdz.
 

[إيتو] يعطي فرضية الجوابة. الحتميّة وأعطيت عناصر تصادفيّة [دك] جانبا:

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

[إيتو] فرضية حاسمة في يستنتج [ديفّرنتيل قوأيشن] للقيمة من أمن مشتقّة مثل [ستوك وبأيشن].

اشتقاق

تايلور يعطي [سري] ل [ف] ([س] ، [ت]) الزيادة في [ك] بما أنّ:

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

أعطيت الزيادة في [ستوك بريس] [دس] جانبا

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

حيث ث يكون متغير معياريّة عاديّة عشوائيّة. ينتج إبدال من [أدت]+[بفو] ([دت]) ½ ل [دس] في المعادلة الآنفة (5):
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

مع التوسع من ال يربّع عبارة والمنتوج عبارة النتيجة:
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

يقلّل [تك ينتو كّوونت] الطبيعة متناه صغر [دت] [س ثت] [دت] إلى أيّ قوة [هيغر] من وحدة يغيب ، (7) إلى:
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

يلاحظ أنّ ال يتوقّع قيمة من ث ² وحدة ، ال يتوقّع قيمة ال [دك]:
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

هذا العنصر الحتميّة [دك]. العنصر التصادفيّة العبارة أنّ يعتمد على [دز] ، أيّ في (8) يكون مثّلت ك [فو] ([دت]) ½. لذلك العنصر التصادفيّة:
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

من الاشتقاق الآنفة بدا هو أنّ هناك مصطلح إضافيّة تصادفيّة أنّ ينشأ من الإنحرافات العشوائيّة من ث ² من ه يتوقّع قيمة من 1 ؛ [إي.] ، العبارة الإضافيّة
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

مهما التباين من هذا عبارة إضافيّة متناسبة إلى ([دت]) ² حيث أنّ التباين من العبارة التصادفيّة يعطى في (10) يكون متناسبة إلى ([دت]). لذلك يغيب المصطلح التصادفيّة يعطى داخل (11) [إين كمبريسن ويث] العبارة التصادفيّة يعطى في (10).

[إيتو] فرضية أساسيّة في الاشتقاق من أسود و [سكهولس] معادلة.

سؤال مستعجلة ما إذا إمتداد من [إيتو] فرضية لتوزيعات ثابتة [ز] غير ال [نورمل ديستريبوأيشن]. تحرّيت هذا سؤال في صفحة على توزيعات ثابتة.