Les changements d'une variable telle que le cours des actions d'actions impliquent un composant déterministe qui est une fonction de temps et d'un composant stochastique qui dépend d'une variable aléatoire. Laisser S être le cours des actions d'actions au temps t et laisser le dS être le changement infinitésimal de S pendant l'intervalle infinitésimal du décollement de temps. Le changement de la variable aléatoire z pendant cet intervalle de temps est la dz. La variation des stocks le prix est donnée près

(1)

dS = adt + bdz,
 

là où a et b peuvent être des fonctions de S et de t aussi bien que d'autres variables ; c.-à-d.,
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) dz.

La valeur prévue de la dz est zéro ainsi la valeur prévue du dS est égale au composant déterministe, adt.

La variable aléatoire dz représente une accumulation des influences aléatoires au-dessus du décollement d'intervalle. Le théorème de limite centrale implique alors que la dz a un de distribution normale et par conséquent est complètement caractérisée par son écart type moyen et. Le moyen ou la valeur prévue de la dz est zéro. Le désaccord d'une variable aléatoire qui est l'accumulation des effets indépendants pendant un intervalle de temps est proportionnel à la longueur de l'intervalle, dans ce cas-ci décollement. L'écart type de la dz est ainsi proportionnel à la racine carrée du décollement, le ^½ (décollement). Toute la ceci signifie que la variable aléatoire dz est équivalente à un ^{½ de la} variable aléatoire W (décollement), où W est une variable normale standard avec le moyen zéro et l'écart type égal à l'unité.

Considérer maintenant un autre C variable, tel que le prix d'une option d'achat, qui est une fonction de S et de t, disent C = f (S, t). Puisque C est une fonction de la variable stochastique S, C aura un composant stochastique aussi bien qu'un composant déterministe. C aura une représentation de la forme :

(2)

dC = pdt + qdz.
 

là où p et q peuvent être des fonctions de S, de t et probablement d'autres variables ; c.-à-d., p=p (S, t, x) et q=q (S, t, x).

Le problème crucial est comment les fonctions p et q sont liées aux fonctions a et b dans l'équation

(3)

dS = adt + bdz.
 

Le lemme d'Ito donne la réponse. Les composants déterministes et stochastiques du C.C sont donnés par :

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Le lemme d'Ito est crucial en dérivant des équations pour la valeur des valeurs dérivées telles que les options d'achat d'actions.

Dérivation

La série de Taylor pour f (S, t) donne l'incrément dans C comme :

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

L'incrément dans le cours des actions d'actions dS est donné près

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

là où W est une variable aléatoire normale standard. La substitution du ^{½ d'}adt + de bvw (décollement) pour le dS dans l'équation ci-dessus (5) rapporte :
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Avec l'expansion de la limite carrée et de la limite de produit le résultat est :
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Tenir compte de la nature infinitésimale du décollement de sorte que le décollement à n'importe quelle puissance plus haut que l'unité disparaisse, (7) réduit à :
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

Notant que la valeur prévue de w² est unité, la valeur prévue du C est :
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

C'est le composant déterministe du C. Le composant stochastique est la limite qui dépend de la dz, qui en (8) est représentée comme ^{½ de} VW (décollement). Par conséquent le composant stochastique est :
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

De la dérivation ci-dessus il semblerait que il y a une limite stochastique additionnelle qui résulte des déviations aléatoires de W ² de sa valeur prévue de 1 ; c.-à-d., la limite additionnelle
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

Cependant le désaccord de cette limite additionnelle est proportionnel vw(dt)^½ tandis que le désaccord de la limite stochastique donnée en (10) est proportionnel à (décollement). Ainsi la limite stochastique donnée dedans (11) disparaît en comparaison de la limite stochastique donnée en (10).

Le lemme d'Ito est essentiel dans la dérivation du noir et de l'équation de Scholes.

Une question immédiate est si est une prolongation du lemme d'Ito pour des distributions stables de z autre que le de distribution normale. Cette question est étudiée dans une page sur des distributions stables.