Änderungen in einer Variable wie Aktienpreis beziehen einen deterministischen Bestandteil mit ein, der eine Funktion der Zeit und des stochastischen Bestandteils ist, der nach einer Zufallsvariable abhängt. S der Aktienpreis zu Zeit t sein lassen und dS die winzige Änderung in S über dem winzigen Abstand von Zeitpapierlösekorotron sein lassen. Die Änderung in der Zufallsvariable z über diesem Abstand der Zeit ist dz. Die Veränderung der Lagerbestände Preis wird vorbei gegeben

(1)

dS = adt + bdz,
 

wo a und b Funktionen von S und von t sowie andere Variablen sein können; d.h.
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) dz.

Der erwartete Wert von dz ist null, also ist der erwartete Wert von dS dem deterministischen Bestandteil, adt gleich.

Die Zufallsvariable dz stellt eine Ansammlung der gelegentlichen Einflüsse über dem Abstandpapierlösekorotron dar. Der zentrale cgrenzwertsatz deutet dann an, dass dz ein Normalverteilungs hat und folglich vollständig durch seine Mittel- und Standardabweichung gekennzeichnet wird. Das Mittel oder der erwartete Wert von dz ist null. Die Abweichung einer Zufallsvariable, die die Ansammlung der unabhängigen Effekte über einem Abstand der Zeit ist, ist zur Länge des Abstands, in diesem Fall Papierlösekorotron proportional. Die Standardabweichung von dz ist folglich zur Quadratwurzel von Papierlösekorotron proportional (dt)^½. Das ganzes dieses bedeutet, dass die Zufallsvariable dz mit einer Zufallsvariable gleichwertig ist w(dt)^½, in der w eine normale Standardvariable mit dem Mittel ist, das null sind und der Standardabweichung, die Einheit gleich ist.

Ein anderes variables C, wie der Preis einer Kaufoption jetzt betrachten, die eine Funktion von S und von t ist, sagen C = f (S, t). Weil C eine Funktion der stochastischen Variable S ist, hat C einen stochastischen Bestandteil sowie einen deterministischen Bestandteil. C hat eine Darstellung der Form:

(2)

dC = pdt + qdz.
 

wo p und q Funktionen von S, von t und vielleicht von anderen Variablen sein können; d.h. p=p (S, t, x) und q=q (S, t, x).

Das entscheidende Problem ist, wie die Funktionen p und q mit den Funktionen a und b in der Gleichung zusammenhängen

(3)

dS = adt + bdz.
 

Itos Lemma gibt die Antwort. Die deterministischen und stochastischen Bestandteile von dC werden vorbei gegeben:

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Itos Lemma ist entscheidend, wenn man Differenzialgleichungen für den Wert der abgeleiteten Aktien wie Aktienoptionen ableitet.

Ableitung

Die Taylor-Reihe für f (S, t) gibt die Stufensprung in C wie:

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

Die Stufensprung im Aktienpreis dS wird vorbei gegeben

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

wo w eine normale Standardzufallsvariable ist. Ersatz von adt + bvw (Papierlösekorotron) ^½ für dS in der oben genannten Gleichung (5) erbringt:
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Mit der Expansion des quadratischen Ausdruckes und des Produktausdruckes ist das Resultat:
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Die Berücksichtigung der winzigen Art Papierlösekorotrones, damit Papierlösekorotron zu jeder möglicher Energie höher als Einheit verschwindet, (7) verringert auf:
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

Merkend, dass der erwartete Wert von w ² Einheit ist, ist der erwartete Wert von dC:
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

Dieses ist der deterministische Bestandteil von dC. Der stochastische Bestandteil ist der Ausdruck, der nach dz abhängt, die in (8) als vw(dt)^½ dargestellt wird. Folglich ist der stochastische Bestandteil:
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

Von der oben genannten Ableitung würde es scheinen, dass es einen zusätzlichen stochastischen Ausdruck gibt, der aus den gelegentlichen Abweichungen von w ² von seinem erwarteten Wert von 1 sich ergibt; d.h. der zusätzliche Ausdruck
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

Jedoch ist die Abweichung dieses zusätzlichen Ausdruckes zu (Papierlösekorotron) ² proportional, während die Abweichung des stochastischen Ausdruckes, der in (10) gegeben wird, zu proportional ist (Papierlösekorotron). So verschwindet der stochastische Ausdruck, der in (11) gegeben wird, im Vergleich mit dem stochastischen Ausdruck, der in (10) gegeben wird.

Itos Lemma ist in der Ableitung des Schwarzen und der Scholes Gleichung wesentlich.

Eine sofortige Frage ist, ob eine Ausdehnung von Itos Lemma für beständige Verteilungen von z anders als das Normalverteilungs ist. Diese Frage wird in einer Seite auf beständigen Verteilungen nachgeforscht.