I cambiamenti in una variabile quale il prezzo delle azioni coinvolgono una componente deterministica che è una funzione di tempo e di una componente stocastica che dipende da una variabile casuale. Lasciare la S essere il prezzo delle azioni a tempo t e lasciare il dS essere il cambiamento infinitesimal nella S sopra l'intervallo infinitesimal del distacco di tempo. Il cambiamento nella variabile casuale z sopra questo intervallo di tempo è la DZ. Il cambiamento nel prezzo delle azioni è dato vicino

(1)

dS = adt + bdz,
 

dove la a e la b possono essere funzioni della S e della t così come altre variabili; cioè,
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) DZ.

Il valore previsto della DZ è zero in modo da il valore previsto del dS è uguale alla componente deterministica, adt.

La variabile casuale DZ rappresenta un'accumulazione delle influenze casuali sopra il distacco di intervallo. Il teorema fondamentale di convergenza stocastica allora implica che la DZ abbia un di distribuzione normale e quindi completamente sia caratterizzata dal relativo scarto quadratico medio medio e. La media o il valore previsto della DZ è zero. La varianza di una variabile casuale che è l'accumulazione degli effetti indipendenti sopra un intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, in questo caso distacco. Lo scarto quadratico medio della DZ è così proporzionale alla radice quadrata del distacco. Tutto il questo significa che la variabile casuale DZ è equivalente ad una variabile casuale , dove w è una variabile normale standard con la media zero e lo scarto quadratico medio uguale ad unità.

Ora considerare un'altra C variabile, quale il prezzo di un'opzione di chiamata, che è una funzione della S e della t, dicono C = f (S, t). Poiché la C è una funzione della variabile stocastica S, la C avrà una componente stocastica così come una componente deterministica. La C avrà una rappresentazione della forma:

(2)

dC = pdt + qdz.
 

dove la p e la q possono essere funzioni della S, della t e possibilmente di altre variabili; cioè, p=p (S, t, x) e q=q (S, t, x).

Il problema cruciale è come le funzioni p e q sono collegate con le funzioni a e b nell'equazione

(3)

dS = adt + bdz.
 

Il lemma del Ito dà la risposta. Le componenti deterministiche e stocastiche di CC sono date vicino:

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Il lemma del Ito è cruciale nella derivazione delle equazioni differenziali per il valore delle sicurezze derivate quali gli stock optioni.

Derivazione

La serie di Taylor per la f (S, t) dà l'incremento in C come:

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

L'incremento nel prezzo delle azioni dS è dato vicino

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

dove w è una variabile casuale normale standard. Sostituzione del ^{½ del} bvw + del adt (distacco) per il dS nell'equazione di cui sopra (5) rende:
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Con l'espansione del termine quadrato e del termine del prodotto il risultato è:
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Considerare la natura infinitesimal del distacco in modo che il distacco a tutto il potere più superiore all'unità sparisca, (7) si riduce a:
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

Si noti che il valore previsto di w ² è unità, il valore previsto di CC è:
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

Ciò è la componente deterministica di CC. La componente stocastica è il termine che dipende dalla DZ, che dentro (8) è rappresentato As . Di conseguenza la componente stocastica è:
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

Dalla derivazione di cui sopra sembrerebbe che ci fosse un termine stocastico supplementare che risulta dalle deviazioni casuali di w ² dal relativo valore previsto di 1; cioè, il termine supplementare
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

Tuttavia la varianza di questo termine supplementare è proporzionale (distacco) a ² mentre la varianza del termine stocastico dato dentro (10) è proporzionale a (distacco). Così il termine stocastico dato dentro (11) sparisce in paragone al termine stocastico dato dentro (10).

Il lemma del Ito è essenziale nella derivazione del nero e dell'equazione di Scholes.

Una domanda immediata è se è un'estensione del lemma del Ito per le distribuzioni stabili della z tranne il di distribuzione normale. Questo problema è studiato in una pagina sulle distribuzioni stabili.