株価のような変数の変更は時間および確率変数に左右される推量部品の機能である決定論の部品を含む。 Sが時間tに株価であるようにし、dSが時間dtの無限少間隔上のSの無限少の変更がであるようにしなさい。 時間のこの間隔上の確率変数zの変更はdzである。 株価の変更は与えられる

(1)

aおよびbが他の変数と同様、Sおよびtの機能であるかもしれないところ。
dzの期待値はゼロである従ってdSの期待値は決定論の部品と等しい、adt。

確率変数のdzは間隔dt上の任意影響の蓄積を表す。 中央限界定理はそれからdzに正規分布があり、中間および標準偏差によってそれ故に完全に特徴付けられることを意味する。 dzの平均か期待値はゼロである。 時間の間隔上の独立した効果の蓄積の確率変数の変動は間隔の長さに比例している、この場合dt。 dzの標準偏差はdtの二乗根にこうして比例している、(dt) ^1/2。 これすべてはwがゼロ平均および単一性と等しい標準偏差を用いる標準的な正常な変数であるところ確率変数のdzが確率変数w (dt)と同等^1/2であることを意味する。

今Sおよびtの機能であるコール・オプションの価格のような別の可変的なCを、発言C = f (S、t)考慮しなさい。 Cが推量変数Sの機能であるので、Cに決定論の部品と同様、推量部品がある。 Cに形態の表示がある:

(2)

重大な問題は機能pおよびqが同等化の機能aおよびbといかに関連しているかである

(3)

Itoの主題は答えを与える。 dCの決定論および推量部品は下記によって与えられる:

(4)

Itoの主題は株式買取選択権のような派生的な保証の価値のための微分方程式を得ることで重大である。

派生

f (S、t)のためのテイラーシリーズはCの増分を次のように与える:

(5) dC = (∂f/∂t) dt + (∂f/∂S) dS +
                (1/2) (∂2f/∂S2) (dS) ² +
                (∂2f/∂S∂t) (dS) (dt) +
                 (1/2) (∂2f/∂t2) (dt) ² +
                高位言葉。
株価dSの増分は与えられる

しかしwが標準的な正常な確率変数であるところ、dz=vw [dt] ^1/2。 adt + bvw (上記の同等化(5)のdSのためのdt)の取り替えは^1/2もたらす:

(6) dC = (∂f/∂t) dt + (∂f/∂S) adt + ∂f/∂Sの) bvw (dt) ^1/2
   + 1/2 (∂2f/∂S2) (adt + bvw (dt) ^1/2) ²
  + (∂2f/∂S∂t) (adt + bvw (dt) ^1/2) (dt) + 1/2 (∂2f/∂t2) (dt) ²
  +高位言葉。

平方された言葉およびプロダクト言葉の拡張によって結果はある:

(7) dC = (∂f/∂t) dt + (∂f/∂S) adt + ∂f/∂Sの) bvw (dt) ^1/2
  + (1/2) (∂2f/∂S2) (a2dt2 + 2abvw (dt) ^3/2 + b2v2w2dt)
  + (∂2f/∂S∂t) (a (dt) ² + bvw (dt) ^3/2) + 1/2 (∂2f/∂t2) (dt) ²
  +高位言葉。

あらゆる力へのdtが単一性より高く消失するようにdtの無限少の性質を考慮に入れることは、(7)に減る:
(8) dC = (∂f/∂t) dt + (∂f/∂S) adt + (∂f/∂S) bvw (dt) ^1/2
  + 1/2 (∂2f/∂S2) (b2v2w2dt)
dCの期待値にw2の期待値が単一性であること注意することは次のとおりである:
(9)

これはdCの決定論の部品である。 推量部品はvw (dt)として(8)で1/2表される、dzに左右される言葉である。 従って推量部品は下記のとおりである:
(10)

上記の派生からそれは1の期待値からのw2の任意偏差から起こる付加的な推量言葉があることにようであろう; すなわち、付加的な言葉
(11)

但しこの付加的な言葉の変動は(10)で与えられる推量言葉の変動が比例しているに一方(dt) ²に比例している(dt)。 従って(11)で与えられる推量言葉は屈服する推量言葉と比べて消失する(10

Itoの主題は黒およびScholesの同等化の派生で必要である。

即時の質問はzの安定した配分のためのItoの主題の延長が正規分布以外あるかどうかである。 この質問は安定した配分のページで調査される。