산 José 주립 대학

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실리콘 밸리
& 토네이도 골목
미국


Ito와 그것의 유도의 보조 정리

주가와 같은 가변에 있는 변화는 시간과 무작위 가변에게 달려 있는 확률론적인 분대의 기능인 결정론적인 분대를 포함한다. S를 시간 t에 주가인 시키고 dS를 시간 dt의 미소한 간격에 S에 있는 미소한 변화인 시키십시오. 시간의 이 간격에 무작위 가변 z에 있는 변화는 dz이다. 가격 재고 교환은 곁에 주어진다

(1)


dS = adt + bdz,
 

a와 b가 다른 가변 뿐만 아니라 S와 t의 기능일지도 모르다 곳에; i.e,
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) dz.

dz의 기대값은 영 이다 그래서 dS의 기대값은 결정론적인 분대, adt와 동등하다.

무작위 가변 dz는 간격 dt에 무작위 영향의 축적을 대표한다. 중심 극한 정리는 그 때 dz는 정규 분포가 있고 그것의 비열한 표준 편차이 그러므로 완전하게 다는 것을 함축한다. dz의 평균 또는 기대값은 0이다. 시간의 간격에 독립적인 효력의 축적인 무작위 가변의 차이는 간격, 이 경우에는 dt의 길이에 비례적이다. dz의 표준 편차는 이렇게 dt의 제곱근에 비례적이다. 이것 전부는 무작위 가변 dz가 w가 영 평균과 단일성과 동등한 표준 편차를 가진 표준 정상적인 가변인 무작위 가변과 동등하다는 것을 의미한다.

지금 S와 t의 기능인, 주식 매수 선택권의 가격과 같은 다른 변하기 쉬운 C를 말한다 C = f (S 의 t) 고려하십시오. C가 확률론적인 가변 S의 기능이기 때문에, C에는 결정론적인 분대 뿐만 아니라 확률론적인 분대가 있을 것이다. C에는 모양의 대표가 있을 것이다:

(2)


dC = pdt + qdz.
 

p와 q가 S, t 및 가능하게 다른 가변의 기능일지도 모르다 곳에; i.e, p=p (S, t, x) 및 q=q (S, t 의 x).

결정적인 문제는 기능 p와 q가 방정식에 있는 기능 a와 b와 관련있는 방법 이다

(3)


dS = adt + bdz.
 

Ito의 보조 정리는 응답을 준다. dC의 결정론 및 확률론적인 분대는 주어진다:

(4)


p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Ito의 보조 정리는 주식 매입 선택권과 같은 파생적인 안전의 가치를 위한 미분 방정식 파생에서 결정적이다.

유도

f를 위한 테일러급수 (S 의 t)는 C에 있는 증가를 다음과 같음 준다:

(5)


dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

주가 dS에 있는 증가는 곁에 주어진다

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]½,

w가 표준 정상적인 무작위 가변인 곳에. 위 방정식 (5)에 있는 dS를 위한 adt + bvw (dt) ½의 대용암호는 열매를 산출한다:
(6)


dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)½
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

네모로 한 기간 및 제품 기간의 확장으로 결과는:
(7)


dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

어떤 힘든지에 dt가 단일성 보다는 높이 사라진다 그래야 dt의 미소한 본질을 고려하는 것은, (7)로 감소시킨다:
(8)


dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

w ²의 기대값이 단일성다는 것을 주의해서, dC의 기대값은:
(9)


[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

이것은 dC의 결정론적인 분대이다. 확률론적인 분대는 (8)에서 것과 같이 대표되는, dz에게 달려 있는 기간이다 . 그러므로 확률론적인 분대는:
(10)


[(∂f/∂S)b]dz.
 

위 유도에서 1의 그것의 기대값에서 w ²의 무작위 탈선에서 발생하는 추가 확률론적인 기간이 있다 보일 것입니다; i.e, 추가 기간
(11)


½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

그러나 이 추가 기간의 차이는 (10)에서 주어진 확률론적인 기간의 차이가 비례적에이더라도 반면 (dt) ²에 비례적이다 (dt). 따라서 (11)에서 주어진 확률론적인 기간은 (10)에서 주어진 확률론적인 기간과 비교하여 사라진다.


Ito의 보조 정리는 검정과 Scholes 방정식의 유도에서 근본적이다.

즉시 질문은 z의 안정되어 있는 배급을 위한 Ito의 보조 정리의 연장이 정규 분포 이외에 다는 것을 이다. 이 질문은 안정되어 있는 배급에 페이지에서 조사된다.


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