在可变物上的变化例如股票价格介入是时间和一个随机组分的作用取决于一个随机变量的一个确定组分。 让S是股票价格在时间t并且让dS是在S上的无穷小的变化在无穷小的间隔时间时间dt。 在随机变量z上的变化在这间隔时间时间是dz。 价格给储备变化

(1)

dS = adt + bdz,
 

那里a和b也许是S和t的作用并且其他可变物; 即，
dS = a (S、t， x) dt+b (S、t， x) dz。

dz的期待值零，因此dS的期待值与这个确定组分， adt是相等的。

这个随机变量dz代表任意影响的储积对间隔时间dt的。 中心极限定理然后暗示dz有一正态分布并且描绘的完全地是为它的卑鄙和标准偏差。 dz的手段或期待值是零。 是独立作用储积在间隔时间时间一个随机变量的变化与间隔时间，在这种情况下dt的长度是比例。 dz的标准偏差与dt方根因而是比例。 所有此意味着这个随机变量dz与一个随机变量是等效的 ， w是标准正常可变物与手段零和标准偏差相等与团结。

现在考虑另一易变的C，例如购买选择权的价格，是S和t的作用，说C = f (S， t)。 由于C是随机可变物S的作用， C将有一个随机组分并且一个确定组分。 C将有这个形式的表示法：

(2)

dC = pdt + qdz.
 

那里p和q也许是S、t和可能其他可变物的作用; 即， p=p (S、t、x)和q=q (S， t， x)。

关键的问题是作用p和q怎么在这个等式与作用a和b有关

(3)

dS = adt + bdz.
 

Ito的题词给这个答复。 给dC确定和随机组分：

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Ito的题词是关键的在获得微分方程为衍生物证券的价值例如高级职员优先认股权。

派生

泰勒系列为f (S， t)在C给增加如下：

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

在股票价格dS给增加

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

那里w是一个标准正常随机变量。 adt + bvw (dt) ^½的代替为dS在上述式(5)产生：
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

与这个被摆正的期限和产品期限的扩展这个结果是：
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

考虑到dt的无穷小的本质，以便dt到所有力量高于团结消失， (7)减少对：
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

注意到， w ²的期待值是团结， dC的期待值是：
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

这是dC确定组分。 随机组分是取决于dz，在(8)代表的期限 。 所以随机组分是：
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

从上述派生看起来有出现从w ²任意偏差从它的期待值的1的一个另外的随机期限; 即，另外的期限
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

然而这个另外的期限的变化与(dt) ²是比例，而在(10)给的随机期限的变化是比例对(dt)。 因而在(11)给的随机期限消失与在(10)给的随机期限比较。

Ito的题词是根本的在黑色和Scholes等式的派生。

一个直接问题是否是Ito的题词引伸为z的稳定的发行除正态分布之外。 这个问题在页在稳定的发行被调查。