As mudanças em uma variável tal como o preço das ações envolvem um componente deterministic que seja uma função do tempo e de um componente estocástico que dependa em cima de uma variável aleatória. Deixar S ser o preço das ações no tempo t e deixar o dS ser a mudança infinitesimal em S sobre o intervalo infinitesimal do descolamento do tempo. A mudança na variável aleatória z sobre este intervalo do tempo é DZ. A mudança no preço das ações é dada perto

(1)

dS = adt + bdz,
 

onde a e b podem ser funções de S e de t assim como outras variáveis; isto é,
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) DZ.

O valor previsto da DZ é zero assim que o valor previsto do dS é igual ao componente deterministic, adt.

A variável aleatória DZ representa uma acumulação de influências aleatórias sobre o descolamento do intervalo. O Theorem de limite central implica então que a DZ tem uma distribuição normal e daqui está caraterizada completamente por seu desvio médio e padrão. O meio ou o valor previsto da DZ são zero. A variação de uma variável aleatória que seja a acumulação de efeitos independentes sobre um intervalo do tempo é proporcional ao comprimento do intervalo, neste caso descolamento. O desvio padrão da DZ é assim proporcional à raiz quadrada do descolamento. Toda a esta significa que a variável aleatória DZ é equivalente a uma variável aleatória , onde w seja uma variável normal padrão com o meio zero e o desvio padrão igual à unidade.

Considerar agora um outro C variável, tal como o preço de uma opção de chamada, que seja uma função de S e de t, dizem C = f (S, t). Porque C é uma função da variável estocástica S, C terá um componente estocástico assim como um componente deterministic. C terá uma respresentação do formulário:

(2)

dC = pdt + qdz.
 

onde p e q podem ser funções de S, de t e possivelmente de outras variáveis; isto é, p=p (S, t, x) e q=q (S, t, x).

O problema crucial é como as funções p e q são relacionadas às funções a e b na equação

(3)

dS = adt + bdz.
 

O Lemma de Ito dá a resposta. Os componentes deterministic e estocásticos da C.C. são dados perto:

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

O Lemma de Ito é crucial em derivar equações diferenciais para o valor de seguranças derivadas tais como opções de subscrição de ações.

Derivação

A série de Taylor para f (S, t) dá o incremento em C como:

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

O incremento no preço das ações dS é dado perto

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

onde w é uma variável aleatória normal padrão. A substituição do ^{½ do} adt + do bvw (descolamento) para o dS na equação acima (5) rende:
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Com a expansão do termo esquadrado e do termo do produto o resultado é:
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Tomar em consideração a natureza infinitesimal do descolamento de modo que o descolamento a todo o poder mais altamente do que a unidade desapareça, (7) reduz-se a:
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

Anotando que o valor previsto de w ² é unidade, o valor previsto da C.C. é:
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

Este é o componente deterministic da C.C. O componente estocástico é o termo que depende em cima da DZ, que (8) é representado dentro como . Conseqüentemente o componente estocástico é:
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

Da derivação acima pareceria que há um termo estocástico adicional que se levantasse dos desvios aleatórios de w ² de seu valor previsto de 1; isto é, o termo adicional
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

Entretanto a variação deste termo adicional é proporcional (descolamento) a ² visto que a variação do termo estocástico dado dentro (10) é proporcional a (descolamento). Assim o termo estocástico dado dentro (11) desaparece em comparação com o termo estocástico dado dentro (10).

O Lemma de Ito é essencial na derivação do preto e da equação de Scholes.

Uma pergunta imediata é se é uma extensão do Lemma de Ito para distribuições estáveis de z à excepção da distribuição normal. Esta pergunta é investigada em uma página em distribuições estáveis.