Zmiana w zmienna tak jak cena akcji wymagać deterministyczny składnik che być funkcja czas i stochastyczny składnik che zależeć na przypadkowy zmienna. Pozwalać S cena akcji przy czas t i pozwalać dS czas zmiana w S nad czas interwał czas dt. Zmiana w przypadkowy zmienna z nad ten interwał czas być dz. Zmiana w cena akcji dać obok

(1)

dS = adt + bdz,
 

dokąd a i B móc funkcja S i t zarówno jak i inny zmienna; i.e.,
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) dz.

Oczekiwać wartość dz być oczekiwać więc oczekiwać wartość dS być równy deterministyczny składnik, adt.

Przypadkowy zmienna dz reprezentować akumulacja przypadkowy oddziaływanie nad interwał dt. Środkowy Ograniczenie Teoremat wtedy insynuować że dz mieć normalny dystrybucja i hence całkowicie charakteryzować swój podły i standardowy dewiacja. Sposób lub oczekiwać wartość dz być zero. Wariancja przypadkowy zmienna che być akumulacja niezależny skutek nad interwał czas być procentowy długość interwał, w tym wypadku dt. Standardowy dewiacja dz być tak procentowy kwadratowy korzeń dt, (dt) ^½. Jedność jedność znaczyć że przypadkowy zmienna dz być równoznaczny przypadkowy zmienna w (dt) ^½, dokąd w być standardowy normalny zmienna z sposób normalny i standardowy dewiacja równy jedność.

Teraz rozważać inny zmienna C, tak jak cena wywoławczy opcja, che być funkcja S i t, mówić C = f (S, t). Ponieważ C być funkcja stochastyczny zmienna S, C mieć stochastyczny składnik zarówno jak i deterministyczny składnik. C mieć przedstawicielstwo forma:

(2)

dC = pdt + qdz.
 

dokąd p i q móc funkcja S, t i możliwie inny zmienna; i.e., p=p (S, t, x) i q=q (S, t, x).

Kluczowy problem być jak funkcja p i q odnosić sie funkcja a i B w równanie

(3)

dS = adt + bdz.
 

Ito Lemat dawać odpowiedź. Deterministyczny i stochastyczny składnik dC dać obok:

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Ito Lemat być kluczowy w wyprowadzanie dyferencjalny równanie dla wartość derywacyjny ochrona tak jak opcje na akcje.

Derywacja

Taylor seria dla f (S, t) dawać przyrost w C:

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

Przyrost w cena akcji dS dawać obok

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

dokąd w być standardowy normalny przypadkowy zmienna. Podstawienie adt + bvw (dt) ^½ dla dS w poddawać się równanie (5) poddawać się:
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Z ekspansja ciosowy termin i produkt termin rezultat być:
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Brać w konto brać natura dt tak, że dt jakaś władza wysoki jedność znikać, (7) zmniejszać:
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

Zauważać że oczekiwać wartość w ² być jedność, oczekiwać wartość dC być:
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

To być deterministyczny składnik dC. Stochastyczny składnik być termin który zależeć na dz, che w (8) reprezentować jako vw (dt) ^½. Tym samym stochastyczny składnik być:
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

Od wartość derywacja ono wydawać się że tam  być dodatkowy stochastyczny termin który powstawać od przypadkowy dewiacja w ² od swój oczekiwać wartość (1); i.e., dodatkowy termin
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

Wariancja ten dodatkowy termin być procentowy (dt) ² podczas gdy wariancja stochastyczny termin dawać w (10) być procentowy (dt). Tak stochastyczny termin dawać w (11) znikać w porównaniu z stochastyczny termin dawać w (10).

Ito Lemat być istotny w derywacja Czerń i Scholes Równanie.

Bezpośredni pytanie być czy być rozszerzenie Ito Lemat dla niewywrotny dystrybucja z dystrybucja normalny dystrybucja. Ten pytanie prowadzić dochodzenie w strona na niewywrotny dystrybucja.