Ändringar i en variabel liksom aktiekursen gäller ett deterministiskt del- som är en fungera av tid och ett stochastic del-, som beror på en slumpmässig variabel. Låt S vara aktiekursen på tid t och låt dS vara den infinitesimal ändringen i S över det infinitesimal mellanrummet av tidavskiljare. Ändringen i den slumpmässiga variabeln z över detta mellanrum av tid är dz. Ändringen i aktiekurs ges by

(1)

dS = adt + bdz,
 

var a och b kan vara, fungerar av S och t as well as andra variabler; dvs.
dS = a (S, t, x) dt+b (S, t, x) dz.

Förväntade värderar av dz är nolla, så förväntade värderar av dS är jämbördiga till det deterministiska del-, adt.

Den slumpmässiga variabeln dz föreställer en ackumulation av slumpmässiga påverkan över mellanrumavskiljaren. Centralen begränsar Theorem då antyder att dz har en det normalafördelning och hence karakteriseras fullständigt av dess medel och standardavvikelse. Medlet eller förväntat värderar av dz är nolla. Variancen av en slumpmässig variabel, som är ackumulationen av vilden, verkställer över ett mellanrum av tid är proportionell till längden av mellanrummet, i denna fallavskiljare. Standardavvikelsen av dz är proportionell till kvadrera rotar thus av avskiljare. Allt detta hjälpmedel, att den slumpmässiga variabeln dz är likvärdigt till en slumpmässig variabel , var w är en standard det normalavariabel med medel nolla och standardavvikelsejämlike till enhet.

Betrakta nu en annan variabel C, liksom prissätta av ett appellalternativ, som är en fungera av S och t, något att säga C = f (S, t). Därför att C är en fungera av den stochastic variabeln S, ska C har ett stochastic del- as well as ett deterministiskt del-. Ska C har en framställning av bilda:

(2)

dC = pdt + qdz.
 

var p och q kan vara, fungerar av S, t och eventuellt andra variabler; dvs. p=p (S, t, x) och q=q (S, t, x).

Det avgörande problemet är hur fungerar p och q förbinds till fungerar a och b i likställanden

(3)

dS = adt + bdz.
 

Itos Lemma ger svaret. De deterministiska och stochastic delarna av dC ges by:

(4)

p=∂f/∂t+(∂f/∂S)a +½(∂²f/∂S²) b²
q = (∂f/∂S)b.
 

Itos Lemma är avgörande, i att härleda differentiella likställande för värdera av härledda säkerheter liksom aktieoptioner.

Avledning

Den Taylor serien för f (S, t) ger öka i C som:

(5)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ½(∂²f/∂S²)(dS)²
+ (∂²f/∂S∂t)(dS)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)² +
higher order terms.
 

Öka i aktiekursen dS ges by

dS = adt + bdz
but
dz=vw[dt]^½,

var w är en slumpmässig variabel för standard det normala. Ersättning av ^{½ för} adt + för bvw (avskiljare) för dS i de ovannämnda 5) avkastningarna för likställande (:
(6)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
   + ½(∂²f/∂S²)(adt + bvw(dt)^½)²
  + (∂²f/∂S∂t)(adt + bvw(dt)^½)(dt) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Med utvidgningen av kvadrerad benämna, och produkten benämner resultatet är:
(7)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + ∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(a²dt² + 2abvw(dt)^3/2 + b²v²w²dt)
  + (∂²f/∂S∂t)(a(dt)² + bvw(dt)^3/2) + ½(∂²f/∂t²)(dt)²
  + higher order terms.
 

Att ta in i konto den infinitesimal naturen av avskiljare, så att avskiljare till några driver higher, än enhet försvinner, (7) förminskar till:
(8)

dC = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)adt + (∂f/∂S)bvw(dt)^½
  + ½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt)
 

Att notera, att förväntade värderar av w ², är enhet, förväntad värderar av dC är:
(9)

[∂f/∂t + (∂f/∂S)a + ½(∂²f/∂S²)b²]dt.
 

Detta är det deterministiska del- av dC. Det stochastic del- är benämna som beror på dz, som (8) föreställs in som . Därför det stochastic del- är:
(10)

[(∂f/∂S)b]dz.
 

Från den ovannämnda avledningen den skulle verkar att det finns ett extra stochastic benämner som uppstår från de slumpmässiga avstegen av w ² från förväntat dess värderar av 1; dvs. de extra benämner
(11)

½(∂²f/∂S²)(b²v²w²dt).
 

Emellertid variancen av detta extra benämner är proportionell till (avskiljare) ², eftersom variancen av det stochastic benämner givet in (10) är proportionell till (avskiljare). Således de stochastic benämner givet in (11) försvinner i jämförelse med det stochastic benämner givet in (10).

Itos Lemma är nödvändig i avledningen av svarten och den Scholes likställanden.

Ett omgående ifrågasätter är är huruvida en f8orlängning av Itos Lemma för stabila fördelningor av z annat än det normalafördelningen. Detta ifrågasätter utforskas i en sida på stabila fördelningor.